Question

2 - Resolva as inequações:


$\begin{gathered}a) \: {2}^{x + 1} + {2}^{x} \geqslant 12 \\b) \: {2}^{2x} + 4 \times {2}^{x} - 32 > 0\end{gathered}$
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a)

$\sf 2^{x+1}+2^{x} \ge 12$

$\sf 2^{x}\cdot2+2^{x}\cdot1 \ge 12$

$\sf 2^{x}\cdot(2+1) \ge 12$

$\sf 2^{x}\cdot3 \ge 12$

$\sf 2^{x} \ge \dfrac{12}{3}$

$\sf 2^{x} \ge 4$

$\sf 2^{x} \ge 2^2$

$\sf \red{x \ge 2}$

O conjunto solução é:

$\sf S=\{x\in\mathbb{R}~|~x \ge 2\}$

b)

$\sf 2^{2x}+4\cdot2^{x}-32 > 0$

$\sf (2^x)^2+4\cdot2^{x}-32 > 0$

Seja $\sf 2^x=y$

$\sf y^2+4y-32 > 0$

$\sf \Delta=4^2-4\cdot1\cdot(-32)$

$\sf \Delta=16+128$

$\sf \Delta=144$

$\sf y=\dfrac{-4\pm\sqrt{144}}{2\cdot1}=\dfrac{-4\pm12}{2}$

$\sf y'=\dfrac{-4+12}{2}~\Rightarrow~y'=\dfrac{8}{2}~\Rightarrow~\red{y'=4}$

$\sf y"=\dfrac{-4-12}{2}~\Rightarrow~y"=\dfrac{-16}{2}~\Rightarrow~\red{y"=-8}$

Assim, $\sf y < -8~ou~y > 4$

=> Para y < -8:

$\sf 2^x=y$

$\sf 2^x < -8$

Não há solução, pois $\sf 2^x > 0$, para todo x real

=> Para y > 4:

$\sf 2^x=y$

$\sf 2^x > 4$

$\sf 2^x > 2^2$

$\sf \red{x > 2}$

O conjunto solução é:

$\sf S=\{x\in\mathbb{R}~|~x > 2\}$