Question

O triângulo ABC é retângulo em B. Sabendo-se que AP = 100, então o valor de x + y é:

Dica: lembre-se que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

A)50 (√3+1)
B)30(√3+1)
C)100√3
D)50(√3+50)
E)250(√3+1)
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Answer 1

Resposta: A) 50(√3+1)

Podemos resolver utilizando regra de 3

no angulo de 60° temos o cateto oposto sendo x e o cateto adjacente sendo y assim sendo

$tan(60) = \frac{x}{y}\\\\\frac{\sqrt{3}}{1} = \frac{x}{y}$

ok agora no angulo de 30° temos o cateto oposto sendo x e o cateto adjacente sendo 100+y assim sendo

$tag(@) = CO/CA\\\\tag(30) = \frac{x}{100+y} \\\\\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{100+y}$

vamos inverter as duas frações e separar o y da fração.

$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{100+y}\\\\\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{100+y}{x}\\\\\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{100}{x} + \frac{y}{x}$

note que vimos que x/y = √3 se invertermos a fração obtemos y/x = 1/√3 assim podemos substituir o y/x nessa equação.

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{100}{x} + \frac{y}{x}\\\\\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{100}{x} + \frac{1}{\sqrt{3}}\\\\\frac{3}{\sqrt{3}} * \sqrt{3} = (\frac{100}{x} + \frac{1}{\sqrt{3}}) * \sqrt{3}\\\\3 = \frac{100\sqrt{3}}{x} + 1\\\\3 - 1 = \frac{100\sqrt{3}}{x}\\\\\frac{100\sqrt{3}}{x} = 2\\\\2x = 100\sqrt{3}\\\\x = \frac{100\sqrt{3}}{2}\\\\x = 50\sqrt{3}$

certo encontramos o valor de x, substituindo ele na igualdade x/y = √3 encontramos o valor de y

$\frac{x}{y} = \sqrt{3}\\\\\frac{50\sqrt{3}}{y} = \sqrt{3} \\\\50\sqrt{3}= y\sqrt{3} \\\\y = 50$

certo encontramos o valor de x e y agora basta fazer a soma dos valores

$50\sqrt{3} + 50\\\\50(\sqrt{3} + 1)$