Question

(Espcex 2011). Na figura abaixo, dois v ́ertices do trapézio sombreado estão no eixo x e os outros dois vértice estão sobre o grafico da função real f(x) = log(k)x, com k > 0 e k ̸= 1. Sabese que o trapézio sombreado tem 30 unidades de área; assim, o valor de k + pq é

Answer 1

Primeiro vamos relacionar os valores que o enunciado dá para achar o q e o p :

$\text l\text o\text g_{k}\text q = 2 \to \text q = \text k^2$

$\text l\text o\text g_{k}\text p = 1 \to \text p = \text k^1$

A questão diz que a área do trapézio vale 30 unidades, ou seja :

$\displaystyle \frac{(2+1).(\text q-\text p)}{2} = 30$

$\displaystyle \text q-\text p = 20$

$\text k^2 - \text k = 20$

$\text k^2 - \text k -20=0$

$\displaystyle \text k = \frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4(-20)}}{2.1} \to \text k = \frac{1\pm\sqrt{81}}{2}$

$\displaystyle \text k = \frac{1+9}{2} \to \boxed{\text k = 5}$ , $\displaystyle \text k = \frac{1-9}{2} \to \boxed{\text k = -4}$

A questão diz que K > 0, logo K = 5. Então :

$\text q = k^2 \to \boxed{\text q = 25}$

$\text p = \text k \to \boxed{\text p = k = 5 }$

Portanto :

$\text k + \text p -\text q = 5 + 5 -25$

$\huge\boxed{\text k + \text p -\text q = -15}$