Question

Dois polígonos convexos têm a quantidade de lados expressa por números consecutivos, ou seja, os polígonos possuem lados n e n+1, respectivamente. Responda o que se pede.

a) Sabendo que a soma dos ângulos internos desses três polígonos é igual a 1980°, determine a quantidade de lado de cada polígono.

b) Calcule a soma das diagonais dos 2 polígonos.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a)

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por:

$\sf S_i=(n-2)\cdot180^{\circ}$

Assim:

$\sf (n-2)\cdot180^{\circ}+(n+1-2)\cdot180^{\circ}=1980^{\circ}$

$\sf (n-2)\cdot180^{\circ}+(n-1)\cdot180^{\circ}=1980^{\circ}$

$\sf 180n-360+180n-180=1980$

$\sf 360n-540=1980$

$\sf 360n=1980+540$

$\sf 360n=2520$

$\sf n=\dfrac{2520}{360}$

$\sf \red{n=7}$

Assim:

$\sf n+1=7+1~\Rightarrow~n+1=8$

Um dos polígonos tem 7 lados. O outro tem 8 lados

b)

O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado por:

$\sf d=\dfrac{n\cdot(n-3)}{2}$

=> Para n = 7:

$\sf d=\dfrac{7\cdot(7-3)}{2}$

$\sf d=\dfrac{7\cdot4}{2}$

$\sf d=\dfrac{28}{2}$

$\sf \red{d=14~diagonais}$

=> Para n = 8:

$\sf d=\dfrac{8\cdot(8-3)}{2}$

$\sf d=\dfrac{8\cdot5}{2}$

$\sf d=\dfrac{40}{2}$

$\sf \red{d=20~diagonais}$

A soma é $\sf 14+20=\red{34}$