Durante uma aula de Matemática, o professor Ricardo desenvolveu, em quatro etapas, a demonstração de uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Observe, no quadro abaixo, as etapas desenvolvidas por Ricardo. M090908H6 Qual foi a relação entre as medidas dos lados do triângulo retângulo PQR que Ricardo demonstrou? RQ¯¯¯¯¯¯¯¯2=VP¯¯¯¯¯¯¯¯⋅QS¯¯¯¯¯¯¯. RP¯¯¯¯¯¯¯¯=RQ¯¯¯¯¯¯¯¯ PQ¯¯¯¯¯¯¯¯. RP¯¯¯¯¯¯¯¯2=RQ¯¯¯¯¯¯¯¯2 PQ¯¯¯¯¯¯¯¯2. RQ¯¯¯¯¯¯¯¯⋅QX¯¯¯¯¯¯¯¯=VP¯¯¯¯¯¯¯¯⋅QS¯¯¯¯¯¯¯.
Respostas
Resposta:
Letra D, RQ⋅QX=VP⋅QS
Explicação:
E substituindo-as na expressão RQ⋅QX=VP⋅QS, que é o teorema das cordas, obteve a relação das medidas dos lados do triângulo retângulo.
A ênfase está na palavra "E" e "substituindo-as".
A relação entre as medidas dos lados do triângulo retângulo PQR que Ricardo demonstrou foi RQ.QX = QP.QS, também conhecido como Teorema das Cordas.
Assumindo um triângulo retângulo PQR, para demontrar esse teorema Ricardo desenhou um circulo com centro P e passando por R de forma que todo o triângulo ficasse dentro do círculo (vide figura).
Em seguida ele prolongou as retas PQ e RQ até chegar na circunferência. Os pontos em que essas retas encontravam a circuferência foram chamados de V, X e S (vide figura).
Com base na figura é possível assumir que:
VQ = VP + PQ = RP + PQ, visto que VP = RP
QX = RQ
QS = PS - PQ = RP - PQ, visto que PS = RP
Sabendo que os lados do triângulo são RP, PQ e RQ, para achar a relação dos lados do triângulo a partir daqui ele deve ter utilizado as conclusões acima e substituído no teorema das cordas, que diz que "O cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos proporcionais, e a multiplicação entre as medidas das duas partes de uma corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes da outra corda.", de forma a deixar toda a equação em função dos lados do triângulo. Sendo assim:
RQ.QX=VQ.PS
Fazendo a substituição de QX = RQ:
RQ.RQ = VQ.QS
RQ² = VQ.QS
Fazendo a substituição de VP = RP + PQ e QS = RP - PQ:
RQ² = (RP + PQ).(RP - PQ)
RQ² = RP² - PQ²
RP² = RQ² + PQ², que é a relação entre os lados do triângulo (Teorema de Pitágoras).
Podemos assumir então, que para chegar a essa relação, ele demonstrou que o teorema das cordas é valido, logo a resposta é RQ.QX = VP.QS
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