Question

1) (Unifor-CE) Uma pirâmide regular tem 6√3 cm de altura e a aresta da base mede 8 cm. Se os ângulos internos da base e de todas as faces laterais dessa pirâmide somam 1800°, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:

a) 576
b) 576√3
c) 1728
d) 1728√3

2) (Unirio-RJ) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15 cm, e a sua base é um quadrado cujos lados medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a:

a) 2√7
b) 3√7
c) 4√7
d) 5√7

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1)

A soma dos ângulos internos das faces de um poliedro regular de V vértices é dada por:

$\sf S=(V-2)\cdot360^{\circ}$

$\sf (V-2)\cdot360^{\circ}=1800^{\circ}$

$\sf 360V-720=1800$

$\sf 360V=1800+720$

$\sf 360V=2520$

$\sf V=\dfrac{2520}{360}$

$\sf V=7$

Essa pirâmide tem 7 vértices, logo é uma pirâmide hexagonal

=> Área da base

A base dessa pirâmide é um hexágono regular

A área de um hexágono regular de lado L é dada por:

$\sf A=\dfrac{3L^2\sqrt{3}}{2}$

Assim, a área da base é:

$\sf A_b=\dfrac{3\cdot8^2\sqrt{3}}{2}$

$\sf A_b=\dfrac{3\cdot64\sqrt{3}}{2}$

$\sf A_b=\dfrac{192\sqrt{3}}{2}$

$\sf A_b=96\sqrt{3}~cm^2$

=> Volume

$\sf V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$

$\sf V=\dfrac{96\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}}{3}$

$\sf V=\dfrac{96\cdot6\cdot3}{3}$

$\sf V=\dfrac{1728}{3}$

$\sf \red{V=576~cm^3}$

Letra A

2)

=> Apótema da base

$\sf a_{p_{b}}=\dfrac{18}{2}$

$\sf a_{p_{b}}=9~cm$

=> Apótema da pirâmide

$\sf (a_p)^2+(a_{p_{b}})^2=15^2$

$\sf (a_p)^2+9^2=15^2$

$\sf (a_p)^2+81=225$

$\sf (a_p)^2=225-81$

$\sf (a_p)^2=144$

$\sf a_p=\sqrt{144}$

$\sf a_p=12~cm$

=>Altura

Seja $\sf h$ a altura dessa pirâmide

Pelo Teorema de Pitágoras:

$\sf h^2+(a_{p_{b}})^2=(a_p)^2$

$\sf h^2+9^2=12^2$

$\sf h^2+81=144$

$\sf h^2=144-81$

$\sf h^2=63$

$\sf h=\sqrt{63}$

$\sf h=\sqrt{9\cdot7}$

$\sf \red{h=3\sqrt{7}~cm}$

Letra B

Answer 2

Resposta: 1) Letra A

2) Letra B