Question

A transformação linear T:R²-----R² onde T((1,2))=(6,-4) e T((2,1))=(9,1) é melhor representada pela alternativa:

a) T((x,y))=(4x+y , 2x-3y)
b)T((x,y))=(3x+7y , x+y)
c)T((x,y))=(2x+5y , x-2y)
d)T((x,y))=(x+5y , 3x-y)

Answer 1

Temos a seguinte transformação linear:

$\begin{array}{cccl} T:&\mathbb{R}^{2}&\to&\mathbb{R}^{2}\\ &(x,\,y)&\mapsto&(ax+by,\,cx+dy) \end{array}$


ou seja,

$T\left((x,\,y) \right )=(ax+by,\,cx+dy)$


Queremos encontrar os escalares $a,\,b,\,c,$ e $d.$

$\bullet\;\;T\left((1,\,2) \right )=(6,\,-4)\\ \\ (a\cdot 1+b\cdot 2,\,c\cdot 1+d\cdot 2)=(6,\,-4)\\ \\ (a+2b,\,c+2d)=(6,\,-4)\\ \\ \\ a+2b=6\;\;\;\;(i)\\ \\ c+2d=-4\;\;\;\;(ii) \\ \\ \\ \bullet\;\;T\left((2,\,1) \right )=(9,\,1)\\ \\ (a\cdot 2+b\cdot 1,\,c\cdot 2+d )=(9,\,1)\\ \\ (2a+b,\,2c+d)=(9,\,1)\\ \\ \\ 2a+b=9\;\;\;\;(iii)\\ \\ 2c+d=1\;\;\;\;(iv)$


Podemos montar um sistema com as equações $(i)$ e $(iii),$ e outro sistema com as equações $(ii)$ e $(iv):$

$\left\{ \begin{array}{ccrc} a+2b&=&6&\;(i)\\ \\ 2a+b&=&9&\;(iii) \end{array} \right. \;\;\;\;\;\;\;\;\; \left\{ \begin{array}{ccrc} c+2d&=&-4&\;(ii)\\ \\ 2c+d&=&1&\;(iv) \end{array} \right.$


Resolvendo os dois sistemas separadamente, encontramos

$a=4,\;b=1,\;c=2\;\text{ e }\;d=-3.$


Logo, a transformação linear é

$T\left((x,\,y) \right )=(4x+y,\,2x-3y)$


Resposta: alternativa $\text{a) }T\left((x,\,y) \right )=(4x+y,\,2x-3y).$