Question

Determine às equações das retas tangentes as curvas:

Answer 1

Dado f(x), a reta tangente a f(x) terá forma y = ax + b, onde a = f'(x) (a derivada de x) no ponto em que é tangente a função.

Então encontrando f'(x):

y = f(x) = 2x - x³

f'(x) = 2 - 3x²

Então a = 2 - 3x²

No ponto (-2,4)

a = 2 - 3(-2)² = 2 -12 = -10

Na equação da reta

y = -10x + b , substituindo o ponto (2,-4)

-4 = -10*2 + b

b = 16

Logo a reta tem equação y = -10x + 16

Answer 2

Equação da reta tangente ao gráfico de $f(x),$ no ponto $(a,\,f(a)):$

$y-f(a)=f'(a)\,(x-a)$


a) $y=2x-x^{3},$ no ponto $(-2,\,4):$

$f(x)=2x-x^{3}\\ \\ f'(x)=2-3x^{2}$


Para $x=-2,$ temos

$f'(-2)=2-3\cdot (-2)^{2}\\ \\ f'(-2)=2-3\cdot 4\\ \\ f'(-2)=2-12\\ \\ f'(-2)=-10$


Logo, a equação da reta tangente é

$y-f(2)=f'(2)\,(x-2)\\ \\ y-4=-10\,(x-2)$


b) $y=-\dfrac{8}{\sqrt{x}},$ no ponto $(4,\,-4):$

$f(x)=-\dfrac{8}{\sqrt{x}}\\ \\ \\ f'(x)=(-8x^{-1/2})'\\ \\ \\ f'(x)=-8\cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right )\cdot x^{(-1/2)-1}\\ \\ \\ f'(x)=4x^{-3/2}\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{4}{\sqrt{x^{3}}}$


Para $x=4,$, temos

$f'(4)=\dfrac{4}{\sqrt{4^{3}}}\\ \\ \\ f'(4)=\dfrac{4}{8}\\ \\ \\ f'(4)=\dfrac{1}{2}$


Logo, a equação da reta tangente é

$y-f(4)=f'(4)\,(x-4)\\ \\ y-(-4)=\dfrac{1}{2}\,(x-4)\\ \\ y+4=\dfrac{1}{2}\,(x-4)$