Question

Observe o Triângulo de Pascal apresentado abaixo. M110573H6_SUP Por meio desse triângulo, é possível obter os coeficientes do desenvolvimento de (x 3)4. Qual é o termo central desse desenvolvimento?

Answer 1

Observando o triângulo de Pascal apresentado, o termo central do desenvolvimento de $(x+3)^{4}$ será $54^{2}$ (Letra D).

O triângulo de pascal é uma ferramenta aritmética, compostas pelos chamados números binomiais ou coeficientes binomiais.

Números ou coeficientes binomiais são aqueles originados de dois fatores. Representados pela expressão: $\left[\begin{array}{ccc}n\\p\end{array}\right]$

E existem duas condições para sua existência:

• n, p ∈ N; e
• n ≥ p.

Para a construção do triângulo de Pascal  coloca-se números binomiais de numeradores iguais na mesma linha e os de mesmo denominador na mesma coluna. Ressaltando que o n é chamado numerador e o p é chamado denominador.

Logo, observamos a expressão: $(x+3)^{4}$ , relacionando com o triângulo de pascal, perceberemos que nossa expressão está relacionada com a linha de n = 4 e que o termo central dessa linha será o número 6.

Desenvolvendo teremos:

$\left[\begin{array}{ccc}4\\0\end{array}\right] 3^{0} x^{4} + \left[\begin{array}{ccc}4\\1\end{array}\right] 3^{1} x^{3} + \left[\begin{array}{ccc}4\\2\end{array}\right] 3^{2} x^{2} + \left[\begin{array}{ccc}4\\3\end{array}\right] 3^{3} x^{3} ...$

Seguiremos esse padrão de 0 a 1. Como queremos o termo central, resolveremos: $\left[\begin{array}{ccc}4\\2\end{array}\right] 3^{2} x^{2}$

Logo: $\frac{4!}{2!2!} 3^{2} x^{2}$ → $\frac{4.3.2.1}{2.1.2.1} 9x^{2}$ = 54$x^{2}$

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