Question

Na figura abaixo, temos que AC = 9 cm, BC = 12 cm e os ângulos AĈB e
CÔB e são retos.
1
_
B
A
D
Com base nessas informações, podemos dizer que as medidas dos
segmentos AB e CD são, respectivamente:
a) 15 cm e 7,2 cm
O b) 15 cm e 4,8 cm
O c) 15 cme 2,4 cm
0 d) 10 em e 4,8 cm.
O e) 10 cm e 2,4 cm.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Sejam $\sf \overline{AB}=a~e~\overline{CD}=h$, respectivamente

=> AB

Pelo Teorema de Pitágoras:

$\sf a^2=9^2+12^2$

$\sf a^2=81+144$

$\sf a^2=225$

$\sf a=\sqrt{225}$

$\sf \red{a=15~cm}$

=> CD

$\sf a\cdot h=b\cdot c$

$\sf 15\cdot h=9\cdot12$

$\sf 15\cdot h=108$

$\sf h=\dfrac{108}{15}$

$\sf \red{h=7,2~cm}$

=>15 cm e 7,2 cm

Letra A

Answer 2

$a)\ 15\ cm\ e\ 7,2\ cm\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \LaTeX$

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Explicação passo-a-passo:__________✍

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Vamos analisar as simetrias do nosso triângulo para encontrarmos uma forma de utilizar as medidas que sabemos para descobrir as que não sabemos. Podemos inicialmente constatar ambos os ângulos abaixo do ângulo reto são complementares, ou seja, juntos eles somam 90º (α + β  + 90º = 180º), o que nos permite reescrevê-los desta forma:

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$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(-1,2.95){\line(-1,0){6}}\put(-1,3){\line(-1,1){3.57}}\put(-4.6,6.55){\line(-2,-3){2.4}}\put(-7.6,2.9){ A }\put(-0.7,2.9){ B }\put(-4.7,6.8){ C }\put(-6.4,3.2){ \alpha }\qbezier(-6.48,3.7)(-5.7,3.7)(-5.9,3)\put(-2.85,3.1){ 90^{\circ} - \alpha }\qbezier(-1.7,3.7)(-2.4,3.6)(-2.1,3)\put(-4.8,5.8){ 90^{\circ} }\put(-4,6){\line(-2,-3){0.4}}\put(-4.45,5.4){\line(-1,1){0.53}}\end{picture}$

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Tendo reescrito nossos ângulos, podemos agora analisar o segmento que mede a altura h do triângulo que liga o ângulo do vértice A com o ponto D. Podemos observar que o ângulo superior do triângulo direito irá medir exatamente α como fruto da somatória dos ângulos internos (90º - α + z  + 90º = 180º):

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$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(-1,2.95){\line(-1,0){6}}\put(-1,3){\line(-1,1){3.57}}\put(-4.6,6.55){\line(-2,-3){2.4}}\put(-6.4,3.2){ \alpha }\qbezier(-6.48,3.7)(-5.7,3.7)(-5.9,3)\put(-2.8,3.1){ 90^{\circ} - \alpha }\qbezier(-1.7,3.7)(-2.4,3.6)(-2.1,3)\put(-4.46,5.84){ \alpha }\put(-4.58,6.6){\line(0,-1){3.6}}\qbezier(-3.95,5.9)(-4.5,5.2)(-5,5.9)\put(-4.5,4){ \ h }\put(-6,2.5){ \ m\ \ \ \ \ D \ \ \ \ \ \ n }\end{picture}$

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Temos desta relação que, pelo Teorema de Pitágoras

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$12^2\ =\ h^2\ +\ n^2\\\\\\ I)\ h^2\ =\ 144\ -\ n^2$

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Guardemos esta informação. Vamos agora optar pela resolução pelo Teorema de Tales porém cientes de que poderíamos também resolver pela Lei do Senos. Vamos então redesenhar nossos dois triângulos congruentes um sobre o outro da seguinte forma:

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$\setlength{\unitlength}{.4in}\begin{picture}(7,5)(0,0)\linethickness{1pt}\put(0,0){\line(1,0){4}}\put(4,0){\line(0,1){3}}\put(2.98,0.02){\line(0,1){2.2}}\qbezier(0.7,0.5)(1,0.5)(1,0)\put(0,0){\line(4,3){4}}\put(2.8,-0.4){ D \ \ \ \ \ \ D }\put(3.9,3.2){ B }\put(2.8,2.5){ C }\put(-0.5,0){ A }\put(0.5,0.1){ \alpha }\end{picture}$

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Para que possamos observar as devidas proporções entre os segmentos. Vamos abstrair um pouco mais para ficar "mais com cara de Tales":

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$\setlength{\unitlength}{.4in}\begin{picture}(7,5)(0,0)\linethickness{1pt}\put(-1,0){\line(1,0){6}}\put(0,-1){\line(0,1){2}}\put(4,-1){\line(0,1){5}}\put(2.98,-1.02){\line(0,1){4.2}}\qbezier(0.7,0.5)(1,0.5)(1,0)\put(-0.8,-0.6){\line(4,3){6}}\put(1.6,-0.4){ m }\put(3.2,-0.4){ CD }\put(3.05,-0.8){ -AD }\put(2.6,1.1){ h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n }\put(3.2,3.6){ BC }\put(3.05,3.2){ -AC }\put(1.5,1.6){ AC }\put(0.5,0.1){ \alpha }\end{picture}$

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Deste relação obtemos a seguinte proporção:

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$\dfrac{h}{AC} =\dfrac{n}{BC} = sen(\alpha)\\\\\\ h \cdot BC\ =\ n \cdot AC\\\\\\ h \cdot 12\ =\ n \cdot 9\\\\\\ II)\ h = \dfrac{9n}{12}$

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Aplicando a relação de II) em I) temos

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$(\dfrac{9n}{12})^2\ =\ 144\ -\ n^2\\\\\\ \dfrac{81n^2}{144} =\ 144\ -\ n^2\\\\\\ 81n^2\ =\ 20.736\ -\ 144n^2\\\\\\ 225n^2\ =\ 20.736\\\\\\ n^2\ =\ 20.736/225\\\\\\ n\ =\ \pm \sqrt{20.736/225}\\\\\\ n\ =\ \pm 144/15$

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Tomaremos somente a solução positiva da raiz por estarmos trabalhando com um comprimento.

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➥ $\boxed{ \ \ \ n\ =\ 9,6\ cm \ \ \ }$ ✅

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Portanto, sabendo o valor de n temos de II) que

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$h = \dfrac{9n}{12}\\\\\\ h = \dfrac{9 \cdot 48}{5 \cdot 12}\\\\\\ h = \dfrac{432}{60}$

➥ $\boxed{ \ \ \ h\ =\ 7,2\ cm \ \ \ }$ ✅

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O que nos permite por fim encontrar o valor de m

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$m^2\ +\ h^2\ =\ 9^2\\\\\\ m^2\ =\ 81\ -\ (\dfrac{36}{5})^2\\\\\\ m^2\ =\ \dfrac{2.025\ -\ 1.296}{25}\\\\\\ m^2\ =\ \dfrac{729}{25}\\\\\\ m\ =\ \sqrt{\dfrac{729}{25}}$

➥ $\boxed{ \ \ \ m\ =\ 5,4\ cm \ \ \ }$ ✅

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Portanto, temos que

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$m\ +\ n\ =\ \dfrac{27}{5} + \dfrac{48}{5}\\\\\\ m\ +\ n\ =\ \dfrac{75}{5}$

➥ $\boxed{ \ \ \ m + n = 15\ cm \ \ \ }$ ✅

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Bons estudos. ☕

(Dúvidas nos comentários)

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."