Question

Não consigo seguir uma linha de raciocínio em relação a um exercício de matemática de função exponencial que é: 5^x - 5^2-x = 24
fatorei o 24 em 5^2 - 1, só que "a" em potenciação é diferente de 1, qual outra linha que devo seguir?

Answer 1

5^x - 5^2/5^x = 24
5^2x - 5^2 = 24×5^x
(5^x)² - 24×(5^x) - 25 = 0
chamando 5^x de M
M²- 24M - 25 = 0
(M - 25)(M + 1) = 0
M - 25 = 0 ⇒M' =  25
M + 1 = 0 ⇒ M'' = -1 (não serve pois não existe valor de x que satisfaça 5^x=-1)        então 5^x = M ⇒ 5^x = 5^2 ⇒ x = 2

Answer 2

Boa tarde Walmir!

Solução!

Não existe outra linha de raciocínio,é que em uma equação exponencial todas aquelas informações sobre radiciação,potenciação inverter um número com expoentes negativos aparecem aqui,e mais as mesmas vão aparecer nos logaritmos,então sugiro que faça uma boa revisão caso contrário a situação fica pior.

Algumas equações exponenciais tem que usar algum artificio para estar resolvendo,que é o caso dessa.

Passo a Passo.

$5^{x} -5^{2-x} =24$

$5^{x} -5^{2}.5^{-x} =24$

Fazendo agora.

$5^{x}=y$

$5^{x}-5^{2}. \dfrac{1}{5^{x} }=24$

$5^{x}-25. \dfrac{1}{5^{x} }=24$

$5^{x}- \dfrac{25}{5^{x} }=24$

Agora vou substituir.

$y- \dfrac{25}{y }=24$

Fazendo o MMC de y

$y^{2}-25=24y$

$y^{2}-24y-25=0$

Encontramos uma equação do segundo grau.Vamos resolve-la aplicando a formula de Bhaskara.

$Formula ~~de ~~Bhaskara \Rightarrow x= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4.a.c } }{2.a}$

Coeficientes da equação.

$a=1\\\\b=-24\\\\c=-25$

Substituindo agora os coeficientes na formula.

$x= \dfrac{-(-24)\pm \sqrt{(-24)^{2}-4.1.(-25) } }{2.1}$

$x= \dfrac{24\pm \sqrt{576+100 } }{2}$

$x= \dfrac{24\pm \sqrt{676 } }{2}$

$x= \dfrac{24\pm 26 }{2}$

$x_{1}= \dfrac{24+26}{2}= \dfrac{50}{2} \Rightarrow x_{1}=25$

$x_{2}= \dfrac{24-26}{2}= \dfrac{-2}{2} \Rightarrow x_{2}=-1~~nao~~serve$

E finalmente vamos achar a solução da equação exponencial.

$5^{x}= x_{1}$

$5^{x}=25$

$5^{x}=5^{2}$

Como as bases estão iguais só restaram os expoentes.

$x=2$


$\boxed{Resposta:x=2~~ou~~S=\{2\}}$

Boa tarde!
Bons estudos!