Question

(UEPG-PR) (PROFESSORES DE PLANTÃO?) Uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 10 cm e altura 12 cm é seccionada por um plano paralelo à base na metade da altura. Nesse contexto, faça o somatório das afirmações verdadeiras

Answer 1

$( \big( \Big( \bigg(\Bigg( 31 \Bigg)\bigg)\Big)\big))\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \LaTeX$

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Explicação passo-a-passo:__________✍

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Imaginemos um triângulo retângulo com um dos catetos sendo a altura da pirâmide (indo do topo até o centro da base), outro cateto ligando o centro da base até a mediatriz de uma das arestas da base e a hipotenusa ligando essa mediatriz com o topo da pirâmide. O ângulo superior deste triângulo (chamemos ele de β) será mantido ao seccionarmos a pirâmide de forma paralela à base de tal forma que formaremos dois triângulos congruentes. Chamemos nossa aresta original de A e nossa nova aresta de A', chamemos também nossa altura original de H e nossa nova altura de H'.  Sabemos que:

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H / H' = 2

12 / H' = 2

H' = 6 cm

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tg (β) = A/2 / H

tg (β) = A'/2 / H'

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Portanto, sendo tg (β) = tg (β) temos que

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A/2 / H = A'/2 / H'

A / 2H = A' / 2H'

A / H = A' / H'

A / A' = H / H'

A / A' = 2

A = 2A'

A' = 5 cm

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Portanto sabemos que sua aresta também foi reduzida pela metade. Porém devemos observar o seguinte agora: tendo sua aresta sido reduzida pela metade, a área desta nova base será reduzida por 4, pois

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A/2 * A/2 = A²/4

10/2 * 10/2 = 100/4 = 25 cm²

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Sabemos também que o volume de uma pirâmide é dada pela equação

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V = base * altura / 3

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Seja V nosso volume original e V' nosso volume da pequena nova pirâmide

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V = 100 * 12 / 3 = 400 cm³

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V' = 25 * 6 / 3 = 50 cm³

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Ou seja, se nossa área foi reduzida em 4 nosso volume foi reduzido em 8 vezes, sendo que 1/8 do volume original ficou na pequena nova pirâmide e os 7/8 restantes no tronco. Observamos então que existe uma proporção de 1/2^n para cada dimensão adicionada.

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Vamos então analisar nossas opções:

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a) Correta.

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b) Correta.

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c) Correta.

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d) Correta.

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e) Correta.

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Portanto, sendo todas as opções verdadeiras temos que a soma é igual a

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1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

➥ $\boxed{ \ \ \ 31 \ \ \ }$✅

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Bons estudos. ☕

(Dúvidas nos comentários)

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."