Determine, em cada um dos casos, uma base e a dimensão do subespaço W:
(a) W ={(x; y; z;w) Î IR4; x + 3y – 2w = 0 e y – z = 0}
(b) V = IR3, U ={ (x; y; z) Î IR3 ; x – 2y + 3z = 0 }
Respostas
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
y = z.
x+3z-2w = 0. Logo x = 3z-2w
Todo vetor que satisfaz ao sistema exposto tem a forma (3z-2w, z, w). Portanto quaisquer dois vetores dessa forma gera o subespaço W. Esse subespaço tem dimensão 2, pois existem apenas duas variáveis livres. Assim conjunto o {(3, 0, 1,0), (0, -2, 0, 1)} pode ser considerado uma base para o subespaço W.
b) x = 2y-3z
Todo vetor que satisfaz a equação exposta tem a forma (2y-3z, y, z). Portanto quaisquer dois vetores dessa forma gera o subespaço V. Esse subespaço tem dimensão 2, pois existem apenas duas variáveis livres. Assim conjunto o {(2, 1, 0), (-3, 0, 1)} pode ser considerado uma base para o subespaço V.
Vou te explicar essa b melhor:
O conjunto {(2, 1, 0), (-3, 0, 1)}, é uma base do subespaço V.
O que isto significa dizer? Significa dizer que qualquer vetor (x, y ,z) que satisfaça a equação x- 2y +3z = 0, é uma combinação linear dos vetores {(2, 1, 0), (-3, 0, 1)}.