Question

Em um parque de exposição, um canhão localizado sobre um caminhão, como mostra figura, lança uma bola luminosa que descreve uma trajetória de um arco de parábola com a concavidade voltada para baixo.

Adotando a origem O do sistema de eixos coordenados no ponto de lançamento, pode-se demonstrar que a função real y = -2x² + 20x descreve a trajetória da bola luminosa, em metros, com o passar de x segundos. Após a análise da trajetória, pode-se concluir que a bola atinge sua altura máxima h de:

Observação: Fique atento pois a tragetória da bola está se iniciando afastada 3,5 metros do solo. (Não se esqueça de utilizar essa medida para deteminar essa altura máxima)

Answer 1

               Otimização de Funções

Para encontrar a altura máxima, primeiro derivamos a função y = -2x² + 20x:

$y'=(-2x^{2} +20x)'\\\\y'=(-2x^{2} )'+(20x)'\\\\y'=-2(2)x^{2-1} +20x^{1-1} \\\\\bf{y'=-4x+20}$

Agora definimos a derivada igual a zero:

$-4x+20=0\\\\20=4x\\\\\boxed{\bf{5=x}}$

Agora substituímos x = 5 na função y = -2x² + 20x:

$y=-2(5)^{2} +20(5)\\\\y=-2(25)+100\\\\y=-50+100\\\\\boxed{\bold{y=50}}$

A altura máxima que a função pode dar é de 50 metros, mas como a trajetória começa a partir de 3,5 metros de altura, devemos adicionar esse valor à altura que obtivemos e teremos:

Altura máxima = 3,5 + 50

Altura máxima = 53,5 metros

A altura máxima "h" será de 53,5 metros