Question

Calcule a integral de linha [(e^x)dx + zdy + cos(y)dz, onde c é o seguimento de reta de A(0,0,1) a B(1,1,3).

Answer 1

Resposta:

e + 1 + 2.sen( 1 )

Explicação passo-a-passo:

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1. Queremos determinar a seguinte integral de linha:

$\mathbb{I}=\mathsf{\displaystyle \int_Ce^x\,dx+z\,dy+cos(y)\,dz}$

2. Faça a parametrização da curva:

$\mathsf{A\rightarrow B\qquad (0,0,1)\rightarrow(1,1,3)}\\\\\mathsf{r(t)=(1-t)r_o+t\,r_1\qquad t\in[0,1]}\\\\\mathsf{r(t)=(1-t)\cdot(0,0,1)+t\,(1,1,3)}\\\\\therefore \mathsf{r(t)=(t,t,1+2t)}$

ou seja:

$\mathsf{x=t}\\\\\mathsf{y=t}\\\\\mathsf{z=1+2t}$

3. Calcule a derivada:

$\mathsf{dx=dt}\\\\\mathsf{dy=dt}\\\\\mathsf{dz=2\,dt}$

4. Substitua na integral original:

$\mathbb{I}=\mathsf{\displaystyle \int_0^1e^t\,dt+(1+2t)\,dt+cos(t)\,2\,dt}\\\\=\mathsf{\displaystyle \int_0^1e^t\,dt+\int_0^1(1+2t)\,dt+2\int_0^1cos(t)\,dt}\\\\=\mathsf{\displaystyle e^t\bigg|_0^1+\bigg[t+\dfrac{2t^2}{2}\bigg]_0^1+2\cdot [\,sen(t)]_0^1}$

$=\mathsf{(e^1-e^0)+(1+1^2-0)+2\cdot(sen(1)-sen(0))}\\\\=\mathsf{e-1+2+2\,sen(1)}\\\\=\mathsf{e+1+2\,sen(1)}$

Conclusão: o valor da integral de linha é e + 1 + 2.sen( 1 )

Bons estudos!

Equipe Brainly