Question

Se tangente de alfa = -2 e pi/2 < x < pi, calcule seno de alfa e cosseno de alfa

Answer 1

$\mathrm{tg\,}\alpha=-2,\;\;\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$


$\dfrac{\mathrm{sen\,}\alpha}{\cos \alpha}=-2\\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha=-2\cos \alpha\;\;\;\;(i)$


Utilizando a relação trigonométrica fundamental, temos

$\cos^{2}\alpha+\mathrm{sen^{2}\,}\alpha=1\;\;\;\;\;(ii)$


Substituindo $(i)$ em $(ii),$ temos

$\cos^{2}\alpha+(-2\cos \alpha)^{2}=1\\ \\ \cos^{2}\alpha+4\cos^{2} \alpha=1\\ \\ 5\cos^{2}\alpha=1\\ \\ \cos^{2} \alpha=\dfrac{1}{5}\\ \\ \cos \alpha= \pm \sqrt{\dfrac{1}{5}}\\ \\ \cos \alpha= \pm \dfrac{1}{\sqrt{5}}$


Como $\alpha$ é um arco do segundo quadrante, o seu cosseno é negativo. Logo,

$\cos \alpha= -\dfrac{1}{\sqrt{5}}$


Substituindo o valor do cosseno encontrado acima na equação $(i),$ temos

$\mathrm{sen\,}\alpha=-2\cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}} \right )\\ \\ \mathrm{sen\,}\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$