Alguém me ajuda As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são (x + 5) cm e (x + 1) cm e a hipotenusa (x + 9) cm. Determine o perímetro desse triângulo.
Respostas
Resposta:
O perímetro desse triângulo é de 48cm.
Explicação passo-a-passo:
O Teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Logo, temos:
(x + 9)² = (x + 5)² + (x + 1)²
Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação (nesse caso, produto notável), podemos calcular que o quadrado da soma de dois termos é o primeiro termo ao quadrado, mais o primeiro termo vezes o segundo, mais o segundo termo ao quadrado. Exemplo com a hipotenusa:
(x + 9) . (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x²+ 18x + 81
Aplicando nos outros, logo temos:
x² + 18x + 81 = x² + 10x + 25 + x² + 2x + 1
Então, agrupamos os termos semelhantes:
x² + 18x + 81 = 2x² + 12x + 26
x² - 2x² = 12x - 18x + 26 - 81
-x² = - 6x - 55
A incógnita não pode ficar negativa, então multiplicamos tudo por (-1).
x² = 6x + 55
Agora, aplicamos bhaskara.
x² - 6x - 55 = 0
Δ = (- 6)² - 4 . 1 . (- 55)
Δ = 36 - 4 . (- 55)
Δ = 36 + 220
Δ = 256
x = - (- 6) ±√256/2.1
x' = 6 + 16/2
x' = 22/2
x' = 11
x" = 6 - 16/2
x" = - 10/2
x" = - 5
Medida não pode ser negativa, logo x só pode ser 11 cm.
Finalmente, substituímos os x por 11 já calculando o perímetro.
P = (11 + 9) + (11 + 5) + (11 + 1)
P = 20 + 16 + 12
P = 48 cm
Ficou longo pois a questão é longa.
Espero ter ajudado. ;)