Determine a inversa da função:
x+1/2x-4
Respostas
Resposta:
f^(-1) (x) = ( 4x + 1 ) / ( 2x - 1 ) é a função inversa.
Domínio é { x ∈ R \ { 1/2) }
Com contradomínio é R
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
Determine a inversa da função:
y = ( x+1 ) / (2x-4 )
Resolução:
A função do enunciado li-a como:
( x + 1) tudo isto no numerador
(2x - 4 ) tudo isto no denominador
Para se encontrar a inversa existem várias maneiras.
Vou passo a passo explicar-lhe.
Leia com cuidado. Estou a explicar para que saiba fazer por si.
Partimos da função y = ( x+1 ) / (2x-4 )
Diz-se que esta função está "resolvida em ordem a y".
Diz-se assim porque no primeiro membro aparece o "y" e no segundo membro uma expressão em "x"
Quando se procura encontrar a função inversa podemos começar por resolver a função em ordem a "x".
Parece estranho e talvez confuso.
Vamos colocar um denominador no "y"
y / 1 = ( x + 1 ) / ( 2x-4 )
Temos duas frações, uma no primeiro membro e outra no segundo.
Faz-se multiplicação cruzada.
Isto é ;
multiplica-se o numerador da 1ª fração pelo denominador da 2ª fração
y * ( 2x - 4 )
e colocamos isso no primeiro membro.
Depois multiplicamos o denominador da 1ª fração pelo numerador da segunda fração
1 * ( x + 1 )
e colocamos isso no segundo membro.
Fica assim :
y * ( 2x - 4 ) = 1 * ( x + 1 )
No primeiro membro usamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração.
No segundo membro, como multiplicar algo por " 1 " não altera nada, fica apenas o "x + 1"
⇔ y*2x - y*4 = x + 1
⇔ 2yx - 4y = x + 1
No primeiro membro ficam os termos que têm "x".
Os outros termos vão para o segundo membro.
Quando "trocam" de membro altera-se o sinal
⇔ 2yx - x = 4y + 1
No primeiro membro temos dois monómios, "2yx" e "- x", que têm em comum o "x".
Dizemos que pomos em evidência o "x", que é comum.
⇔ x * ( 2y - 1 ) = 4y + 1
Agora vamos dividir ambos os membros por "2y - 1" , porque porque queremos resolver em ordem a "x".
⇔ ( x * ( 2y - 1 ) ) / ( 2y - 1 ) = ( 4y + 1 ) / ( 2y - 1 )
Ao fazermos esta divisão temos que dizer que vai ser feita quando
( 2y - 1 ) ≠ 0 , pois não se pode fazer divisão por zero.
No primeiro membro o ( 2y - 1 ) do numerador e do denominador vão-se
cancelar, ficando no primeiro membro apenas "x"
⇔ x = ( 4y + 1 ) / ( 2y - 1 ).
Agora a parte mais "estranha".
Onde se tem "x" passa-se a escrever "y".
Onde se tem "y" passa-se a escrever "x".
⇔ y = ( 4x + 1 ) / ( 2x - 1 ).
Está encontrada a função inversa da inicial.
O denominador não pode ser zero, por causa das divisões por zero,
temos que por uma restrição.
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Nota auxiliar para encontrar o domínio da função inversa
2x - 1 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ 1
Passei "- 1 " para segundo membro, trocando sinal
Agora vou dividir ambos os membros por 2
⇔ 2x / 2 ≠ 1/2
os dois 2 no primeiro membro cancelam-se
⇔ x ≠ 1/2
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A sua função inversa está terminada. Formalmente escrevemos
f^(-1) (x) = ( 4x + 1 ) / ( 2x - 1 )
Sendo o domínio todos os números reais , excetuando o 1/2
Isto escreve-se em linguagem matemática
Domínio = { x ∈ R \ { 1/2) }
O Contradomínio são os números reais R
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Sinais: ( * ) multiplicar ( / ) dividir (⇔) equivalente a ( \ ) exceto
(≠ ) diferente de ( ∞ ) infinito ( ^) elevado a
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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.
Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a
resolução a possa compreender otimamente bem.