Question

integral de dx/x^2+2x

Answer 1

Calcular a integral

$\int{\dfrac{dx}{x^{2}+2x}}\\ \\ \\ =\int{\dfrac{1}{x\,(x+2)}\,dx}$


Vamos decompor a função integrando em frações parciais:

$\dfrac{1}{x\,(x+2)}=\dfrac{C_{1}}{x}+\dfrac{C_{2}}{x+2}$


Multiplicando os dois lados da igualdade acima por $x\,(x+2),$ temos

$1=x\,(x+2)\cdot \left(\dfrac{C_{1}}{x}+\dfrac{C_{2}}{x+2} \right )\\ \\ \\ 1=\dfrac{x\,(x+2)\cdot C_{1}}{x}+\dfrac{x\,(x+2)\cdot C_{2}}{x+2}\\ \\ \\ 1=C_{1}\,(x+2)+C_{2}\,x$


Utilizando a igualdade acima,

$\bullet\;\;$ Para $x=0,$ temos

$1=C_{1}\,(0+2)+C_{2}\cdot 0\\ \\ 1=2C_{1}\;\;\Rightarrow\;\;C_{1}=\dfrac{1}{2}$


$\bullet\;\;$ Para $x=-2,$ temos

$1=C_{1}\,(-2+2)+C_{2}\cdot (-2)\\ \\ 1=-2C_{2}\;\;\Rightarrow\;\;C_{2}=-\dfrac{1}{2}$


Portanto,

$\dfrac{1}{x\,(x+2)}=\dfrac{(\frac{1}{2})}{x}-\dfrac{(\frac{1}{2})}{x+2}\\ \\ \\ \dfrac{1}{x\,(x+2)}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x+2}$


Voltando à integral, temos

$\int{\dfrac{1}{x\,(x+2)}\,dx}\\ \\ \\ =\int{\left(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x+2} \right )\,dx}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\int{\dfrac{dx}{x}}-\dfrac{1}{2}\int{\dfrac{dx}{x+2}}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\mathrm{\,\ell n}\left|x\right|-\dfrac{1}{2}\mathrm{\,\ell n}\left|x+2\right|+C$