Question

considere o hexágono regular ABCDEF e o quadrado AGHD, inscritos na circunferência de centro O, cujo raio mede 6cm. Os lados BC e AG interceptam-se no ponto P.

a) Calcule a medida do lado de cada polígono.
b) Quanto mede o segmento PQ?
c) Encontre a medida do ângulo GAO

Answer 1

Geometria Plana

Para encontrar as soluções para essa questão, fique atento(a) às seguintes observações:

• Em um hexágono regular inscrito numa circunferência, o lado do hexágono é igual à medida do raio da circunferência. Mas por que? Note que podemos traçar um triângulo isósceles, assim identificamos tais medidas, pois os lados desse tipo de triângulo são iguais.

• Os ângulos de um triângulo isósceles são sempre iguais. Já que a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180°, dividindo por 3 encontramos a medida de cada ângulo, ou seja, 60°.

Agora que aprendemos, vamos às perguntas!

a) Calcule a medida do lado de cada polígono.

Está pedindo a medida do lado do quadrado e a medida do lado do hexágono.

Pela fórmula da diagonal do quadrado, temos o seu lado:

$d = l\sqrt{2}$

$l\sqrt{2} = 2 \cdot 6$

$l\sqrt{2} = 12$

$l = \frac{12}{\sqrt{2}}$

$l = \frac{12\sqrt{2}}{2}$

$\boxed{l = 6\sqrt{2} \ cm}$

Já o lado do hexágono é igual a 6 cm!

b) Quanto mede o segmento PQ?

Divida o lado do hexágono por 2.

$\frac{L}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Por relações trigonométricas:

$tg60 = \frac{PQ}{3}$

$\frac{PQ}{3} = \sqrt{3}$

$\boxed{PQ = 3\sqrt{3}}$

c) Encontre a medida do ângulo GAO

Já que o quadrado é formado por quatro ângulos retos (90°), o ângulo GAO o divide por 2. Portanto:

$\boxed{GAO = 45\circle}$

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Bons estudos! :)