Question

9 no expoente 1+log 2 na base 3
Como fazer?

Answer 1

Nosso objetivo aqui será manipular a expressão para que possamos utilizar a propriedade  $\boxed{b^{\log_{_b}a}~=~a}$ . Para isso vamos utilizar outras propriedades de logaritmos e de potência.

Propriedades que serão utilizadas nesta resolução:

$Logaritmo~do~produto:~~\boxed{\log_{_b}(a\cdot c)=\log_{_b}a+\log_{_b}c}\\\\\\Potencia~de~potencia:~~\boxed{\left(a^b\right)^c~=~a^{\,b\,\cdot c}}\\\\\\Logaritmo~de~potencia:~~ \boxed{\log_{_b}a^c~=~c\cdot\log_{_b}a}$

$9^{\,1+\log_{\,_3}\!2}~=$

Podemos reescrever o '1' no expoente como um logaritmo de base 3:

$=~9^{\,\log_{\,_3}\!3\,+\,\log_{\,_3}\!2}$

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto no expoente:

$=~9^{\,\log_{\,_3}(3\cdot2)}\\\\\\=~9^{\,\log_{\,_3}\!6}$

Para que possamos utilizar a propriedade mencionada no inicio da resolução, a base da potência (9) e a base do logaritmo no expoente da potência devem ser iguais.

Assim, vamos reescrever '9' como uma potencia de base 3:

$=~\left(3^2\right)^{\,\log_{\,_3}\!6}$

Aplicando a propriedade da potencia de potencia:

$=~3^{\,2\,\cdot\,\log_{\,_3}\!6}$

Aplicando a propriedade do logaritmo da potencia:

$=~3^{\,\log_{\,_3}6^2}\\\\\\=~\backslash\!\!\!3^{\,\log_{\,_{\backslash\!\!\!3}}6^2}\\\\\\=~6^2\\\\\\=~\boxed{~36~}~~\Rightarrow~Resposta\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$