Question

(ITA) Sendo α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que sen²(2β) - 2cos(2β) = 0, então sen(α) é igual a:

$a)\: \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\\ b)\: \dfrac{\sqrt[4]{2}}{2}\\\\\\ c)\: \dfrac{\sqrt[4]{8}}{2}\\\\\\ d)\: \dfrac{\sqrt[4]{8}}{4}\\\\\\ e)\: 0$

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em trigonometria.

Sejam $\alpha$ e $\beta$ os ângulos agudos de um triângulo retângulo, sabemos que:

$\sin^2(2\beta)-2\cos(2\beta)=0$.

Devemos determinar o valor de $\sin(\alpha)$.

Primeiro, lembre-se das fórmulas de arco duplo:

$\begin{cases}\sin(2\beta)=2\sin(\beta)\cos(\beta)\\ \cos(2\beta)=2\cos^2(\beta)-1\\\end{cases}$

Substituindo estes elementos, teremos:

$(2\sin(\beta)\cos(\beta))^2-2(2\cos^2(\beta)-1)=0$

Calcule a potência e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$4\sin^2(\beta)\cos^2(\beta)-4\cos^2(\beta)+2=0$

Fatore a expressão:

$4\cos^2(\beta)\cdot(\sin^2(\beta)-1)+2=0$

Lembre-se da identidade fundamental da trigonometria: $\sin^2(\beta)+\cos^2(\beta)=1$. Com ela, reescrevemos: $\sin^2(\beta)-1=-\cos^2(\beta)$

$4\cos^2(\beta)\cdot(-\cos^2(\beta))+2=0$

Multiplique os termos

$-4\cos^4(\beta)+2=0$

Subtraia $2$ em ambos os lados da equação

$-4\cos^4(\beta)=-2$

Divida ambos os lados da equação por $(-4)$ e simplifique as frações

$\cos^4(\beta)=\dfrac{1}{2}$

Calcule a raiz quártica em ambos os lados da equação. Sabendo que $\beta$ é um ângulo agudo, deduz-se que $\cos(\beta)>0$, logo:

$\cos(\beta)=\sqrt[4]{\dfrac{1}{2}}$

Calcule o radical da fração utilizando a propriedade: $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

$\cos(\beta)=\dfrac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{2}}$

Aplique a segunda regra de racionalização de denominadores: $\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}=\dfrac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}$. Lembre-se que $\sqrt[4]{1}=1$.

$\cos(\beta)=\dfrac{\sqrt[4]{2^3}}{2}$

Calcule a potência

$\cos(\beta)=\dfrac{\sqrt[4]{8}}{2}$

Por fim, sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a $180\°$ e ele é retângulo, facilmente deduz-se que $\alpha+\beta=90\°$.

A partir deste dado, mostramos que $\beta=90\°-\alpha$.

Sabendo que $\cos(90\°-\alpha)=\sin(\alpha)$, conclui-se que:

$\sin(\alpha)=\dfrac{\sqrt[4]{8}}{2}$.

Este é o resultado que buscávamos e é a resposta contida na letra c).

Answer 2

Se α e β são dois ângulos agudos de um triângulo retângulo, podemos escrever:

$\sf \alpha+\beta+\dfrac{\pi}{2}=\pi\\\\\\ \sf \alpha+\beta=\dfrac{2\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}\\\\\\ \sf \alpha+\beta=\dfrac{2\pi-\pi}{2}\\\\\\ \sf \alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}\\\\\\ \sf\beta=\dfrac{\pi}{2}-\alpha\qquad (\:I\:)$

Recordando agora de uma das identidades trigonométricas do arco complementar, dada por

$\sf cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\theta\bigg)\!=sen\:\!(\theta)\ \ \rightarrow\ \ \forall\,\theta\,\in\:\!\:\! \mathbb{R}$

, a equação ( I ) fica:

$\sf cos\:\!(\beta)=cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\bigg)\\\\\\ \sf cos\:\!(\beta)=sen\:\!(\alpha)\\\\\\ \sf cos^4(\beta)=sen^4(\alpha)$

Do enunciado, extraímos a seguinte equação trigonométrica na incógnita β :

$\sf sen^2(2\beta)-2\:\!\:\!cos\:\!(2\beta)=0\qquad(\:II\:)$

Objetivando resolver esta equação e encontrar o valor de sen(α), é necessário termos em mente todas estas identidades (trigonométricas):

$\begin{cases}\sf sen\:\!(2\:\!\theta)=2\:\!\:\!sen(\theta)\:\!cos(\theta)\\\\ \sf cos\:\!(2\theta)=2\:\!cos^2(\theta)-1\\\\ \sf cos^2(\theta)=1-sen^2(\theta)\end{cases}$

, que também são válidas para qualquer valor real atribuído a θ. Assim sendo, segue abaixo a resolução da equação ( II ) e, como resultado, o valor requerido pelo enunciado.

$\sf sen^2(2\beta)-2\:\!\:\!cos\:\!(2\beta)=0\\\\\\ \sf \big[sen\:\!(2\beta)\big]^{\!\:\!\:\!2}-2\big[2\:\!cos^2(\beta)-1\big]\!=0\\\\\\ \sf \big[2\:\!\:\!sen\:\!(\beta)\:\!cos\:\!(\beta)\big]^{\!\:\!\:\!2}-4\:\!\:\!cos^2(\beta)+2=0\\\\\\ \sf 4\:\!\:\!sen^2(\beta)\:\!cos^2(\beta)-4\:\!\:\!cos^2(\beta)+2=0\\\\\\ \sf 4\:\!\:\!cos^2(\beta)\!\:\!\:\!\big[sen^2(\beta)-1\big]+2=0\\\\\\ \sf -4\:\!\:\!cos^2(\beta)\!\:\!\big[1-sen^2(\beta)\big]+2=0$

$\sf \!\!\:\!-4\:\!\:\!cos^2(\beta)cos^2(\beta)=-2\\\\\\ \sf 2\:\!\:\!cos^2(\beta)\:\!cos^2(\beta)=1\\\\\\ \sf 2\:\!\:\!cos^4(\beta)=1\\\\\\ \sf 2\:\!\:\!sen^4(\alpha)=1\qquad \big(\:\!pois\ cos^4(\beta)=sen^4(\alpha)\big)\\\\\\ \sf sen^4(\alpha)=\dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l}\sf sen\:\!(\alpha)=\sqrt[\sf4]{\sf\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt[\sf4]{\sf1}}{\sqrt[\sf4]{\sf2}}=\dfrac{1}{\sqrt[\sf4]{\sf2}}\qquad \bigg(pois\ 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\bigg)\\\\\\ \sf sen\:\!(\alpha)=\dfrac{1}{\sqrt[\sf4]{\sf2}}\cdot \dfrac{\sqrt[\sf4]{\sf2^{\:\!3}}}{\sqrt[\sf4]{\sf2^{\:\!3}}}\\\\\\ \sf sen\:\!(\alpha)=\dfrac{\sqrt[\sf4]{\sf8}}{\sqrt[\sf4]{\sf2^{\:\!\:\!4}}}\\\\\\ \sf \boxed{\sf sen\:\!\:\!(\alpha)=\dfrac{\sqrt[\sf4]{\sf8}}{2}}\end{array}$

Resposta: letra c).

Obs.: caso tenha problemas na visualização das equações (escritas em LaTeX), experimente visualizar a resposta pelo navegador, acessando o link: https://brainly.com.br/tarefa/35862498.