Question

Centrodemassae momentosdeinérciaUma 'gamela'sólidade
densidade constante é limitado abaixo pela superfície z = 4y2,
acima pelo plano z = 4 e dos lados pelos planos x = 1 e
x = - 1. Encontre o centro de massa e os momentos de inércia
em relação aos três eixos.

Answer 1

La gráfica queda a tu cargo.
sea la densidad del sólido $\rho(x,y,z)=k$.

Región de integración $D=\left\{(x,y,z):-1\leq x\leq 1\;,\;-1\leq y\leq 1\;,\;4y^2\leq z\leq 4\right\}$

MASA
$\displaystyle M=\iiint\limits_{D} \rho(x,y,z)dV \\ \\ M=k\iiint\limits_{D} dV \\ \\ M=k\int_{-1}^1\int_{-1}^1\int_{4y^2}^4dzdydx\\ \\ M=2k\int_{-1}^1 4-4y^2 dy = \dfrac{32k}{3}$

MOMENTOS DE INERCIA
EJE X
$\displaystyle M_x=\iiint\limits_{D} x\cdot \rho(x,y,z)dV =k\iiint\limits_{D} xdV\\ \\ M_x = k\int_{-1}^1\int_{-1}^1\int_{4y^2}^4xdzdydx\\ \\ M_x = k\int_{-1}^1\int_{-1}^1x(4-4y^2)dydx\\ \\ M_x = k\int_{-1}^1\dfrac{8}{3}xdx\\ \\ \boxed{M_x=0}$

EJE Y
$\displaystyle M_y=\iiint\limits_{D} y\cdot \rho(x,y,z)dV =k\iiint\limits_{D} ydV\\ \\ M_y=\int_{-1}^1\int_{-1}^1\int_{4y^2}^4ydzdydx\\ \\ M_y=\int_{-1}^1\int_{-1}^1y(4-4y^2)dydx\\ \\ \boxed{M_y=0}$

EJE Z
$\displaystyle M_z=\iiint\limits_{D} z\cdot \rho(x,y,z)dV =k\iiint\limits_{D} zdV\\ \\ M_z=k\int_{-1}^1\int_{-1}^1\int_{4y^2}^4zdzdydx\\ \\ \boxed{M_z=\dfrac{128k}{5}}$

Por lo tanto el centro de masa es:
                         $G=\left(0,0,\dfrac{12}{5}\right)$