Question

Um raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 5 min/s. Quão rápido o volume está aumentando quando o diâmetro for 90 mm.
PRECISO DO PASSO A PASSO

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf V=\dfrac{4\cdot\pi\cdot r^3}{3}$

Utilizando a regra da cadeia:

$\sf \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$

Temos que:

$\sf V=\dfrac{4\cdot\pi\cdot r^3}{3}$

$\sf \dfrac{dV}{dr}=3\cdot\dfrac{4\cdot\pi\cdot r^{3-1}}{3}$

$\sf \dfrac{dV}{dr}=3\cdot\dfrac{4\cdot\pi\cdot r^{2}}{3}$

$\sf \dfrac{dV}{dr}=4\cdot\pi\cdot r^2$

E pelo enunciado, $\sf \dfrac{dr}{dt}=5$:

Logo:

$\sf \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$

$\sf \dfrac{dV}{dt}=4\cdot\pi\cdot r^2\cdot5$

$\sf \dfrac{dV}{dt}=20\pi\cdot r^2$

=> Para d = 90 mm (r = 45 mm):

$\sf \dfrac{dV}{dt}=20\pi\cdot45^2$

$\sf \dfrac{dV}{dt}=20\pi\cdot2025$

$\sf \red{\dfrac{dV}{dt}=40500\pi~mm^3/s}$