Question

Num losango, o perímetro é 80 cm e o ângulo agudo é um terço do ângulo obtuso. Qual é a área do losango?

Answer 1

Resposta:

A área do losango é aproximadamente 139,84cm².

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, para calcular a área de um losango, temos que multiplicar metade a de suas diagonais!

Como o losango, possui 4 lados iguais, basta dividir seu perímetro (80) por 4, e encontramos o lado, que é 20!

Agora, vamos dividir o losango em 4  triângulos retângulos (veja o anexo)!

Temos agora  um triângulo retângulo, em que sua hipotenusa é igual a 20. Devemos encontrar seus catetos (metade das diagonais) e multiplica-los.

Agora temos de descobrir os ângulos desse losango, sabendo que a soma de seus ângulos internos é 360 e que o ângulo agudo, é igual a 1/3 do obtuso:

$\sf 2 \cdot \left ( \dfrac{y}{3} + y\right ) = 360\\\\\dfrac{2 \cdot \left ( \dfrac{y}{3} + y\right )}{2} = \dfrac{360}{2}\\\\\dfrac{y}{3} + y = 180\\\\\dfrac{3y + y}{3} = 180\\\\\dfrac{4y}{3} = 180\\\\4y = 180 \cdot 3\\\\y = \dfrac{540}{4}\\\\y = 135~(obtuso)$

Se dividirmos por 2, teremos um dos ângulos do triângulo, e usando as razões trigonométricas (seno e cosseno), descobriremos metade das diagonais (os catetos do triângulo):

$\sf sen(\dfrac{135}{2}) = \dfrac{co}{hip}\\\\sen(67,5) = \dfrac{co}{20}\\\\0{,}92 = \dfrac{co}{20}\\\\co = 20 \cdot 0{,}92\\co = 18{,}4cm$

$\sf cos(67{,}5) = \dfrac{ca}{20}\\\\0{,}38 = \dfrac{ca}{20}\\\\ca = 20 \cdot 0{,}38\\ca = 7,6cm$

Multiplicando os catetos, temos:

a = 7,6 ·18,4

a = 139,84cm²

Espero ter ajudado :)