Question

A soma das áreas de dois quadrados é 164 cm2. O perímetro do maior excede o perímetro do menor em 8 cm. Qual é a área do quadrado menor?

Answer 1

Resposta:

64cm2

Explicação passo-a-passo:

Vamos supor que os lados do quadrado maior seja M, e os lados do menor, m

A área do maior é dada por M x M = M^2 e a do menor, consequentemente, m^2

Temos a equação I:

M^2 + m^2 = 164cm (soma das áreas dadas pelo enunciado)

Agora utilizar a segunda parte do enunciado : " O perímetro do maior excede o do menor em 8cm"

O perímetro de um quadrado é dado pela soma de seus lados : Do maior será 4M e do menor 4m. Porém ele falou que 4m + 8cm = 4M. Temos assim a segunda equação (II)

(I) M^2 + m^2 = 164

(II) 4m + 8 = 4M ( Substitui na primeira)

Obtém-se então que y=8 e x=10. Portanto a área do menor é de 8x8 = 64cm2

Answer 2

Vamos chamar de $x$ o lado de um dos quadrados. O perímetro desse quadrado vale $4x$, pois é só a soma dos lados e todos lados são iguais.

A gente sabe que o perímetro de um dos quadrados é 8cm maior que o do outro. Então, o perímetro do segundo quadrado é $4x + 8$. Como o perímetro desse quadrado vale $4x + 8$, podemos concluir que seu lado vale um quarto do perímetro, isto é

$lado = \frac{4x+8}{4} = x+2$

Pronto: temos dois quadrados: um com lado medindo $x$ e outro medindo $x+2$.

A área do cara que tem $x$ de lado é $x^2$.

A área do cara que tem $x+2$ de lado é $(x+2)^2 = x^2 + 4x+4$.

Também sabemos que a soma das áreas é 164 cm2. Portanto

$(x^2) + (x^2 + 4x+4) = 164\\2x^2 + 4x + 4 = 164\\x^2 + 2x - 80 = 0\\x_{1} = -10\\x_{2} = 8$

Como o lado só pode ser positivo, temos que o lado do quadrado menor vale 8cm, e do maior vale (8 + 2)cm = 10cm.

Por fim, a área do quadrado menor vale

$A = (8cm)^2 = 64cm^2$.

Resposta: a área do quadrado menor é 64 cm2.