Question

qual é a forma mais simplificada da expressão.
OBS: VÁ O MAIS FUNDO POSSÍVEL!

$\frac{ \sqrt{a \sqrt[3]{a}}}{\sqrt[3]{ {a}^{2}} \times \sqrt[4]{a}}$
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Simplificação de radicais

• Dada a expressão :

$\iff \sf{ \dfrac{ \sqrt{a \sqrt[3]{a} } }{ \sqrt[3]{a^2} * \sqrt[4]{a} } }$

• Vamos usar as regras de potenciação estudas. Primeiro sabe-se que :

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{ \sf{ \sqrt[n]{a^m}~=~ a^{\frac{m}{n}} } }$

• Vamos fazer a passagem d'um fator para dentro do radical ( no numerador ).
• Então vamos abrir todos radicais e colocar em forma de potenciação fraccionaria :

$\iff \sf{ x~=~ \dfrac{ \sqrt[2*3]{a^3*a} }{ a^{\frac{2}{3}}*a^{\frac{1}{4}} } }$

• Pela regra de potenciação temos que quando estamos perante a multiplicação de duas potências de mesma base mantemos a base e somamos seus expoentes :

$\iff \sf{ x~=~ \dfrac{ \sqrt[6]{a^4} }{ a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4} } } }$

$\iff \sf{ x~=~ \dfrac{ a^{\frac{4}{6}} }{ a^{\frac{8+3}{12}} } }$

$\iff \sf{ x~=~ \dfrac{ a^{\frac{8}{12}} }{ a^{\frac{11}{12}} } }$

• Sabemos muito que, quando temos divisão potências de mesma base mantemos a base e subtraimos os seus expoentes :

$\iff \sf{ x~=~ a^{\frac{8}{12}-\frac{11}{12}} }$

$\iff \sf{ x~=~ a^{-\frac{3}{12}} }$

• Podemos ainda simplificar o expoente :

$\iff \sf{ x~=~ a^{-\frac{1}{4}} }$

• Trazendo como radical novamente :

$\iff \sf{ x~=~ \sqrt[4]{a^{-1}} ~=~ \sqrt[4]{\dfrac{1}{a}} }$

• Racionalizando o denominador vamos ter :

$\iff \sf{ x~=~ \dfrac{1}{\sqrt[4]{a}} * \dfrac{ \sqrt[4]{a^3} }{\sqrt[4]{a^3} } }$

$\iff \sf{ x~=~ \dfrac{ \sqrt[4]{a^3} }{ \sqrt[4]{a*a^3}}~=~\dfrac{ \sqrt[4]{a^3} }{ \sqrt[4]{a^4}} }$

$\green{ \iff \boxed{\boxed{\sf{ x~=~ \dfrac{ \sqrt[4]{a^3} }{ a } }\sf{ \longleftarrow Resposta } } } }$

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Espero ter ajudado bastante!)

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