Question

Resolva no caderno, em IR, as seguintes inequações-
-quociente:​

Answer 1

a) Para que o pedido ocorra, quando o numerador for maior ou igual a zero, o denominador tem que ser positivo (não pode ser igual a zero, pois teríamos divisão por zero). Ou então quando o numerador for menor ou igual a zero, o denominador tem que ser negativo.

Se $2x-3\geq 0$

$2x\geq 3$

$x\geq \frac{3}{2}$

Então $1-x>0$

$-x>-1$

$x<1$

Note que é impossível algo ser maior ou igual a 3/2 e, ao mesmo tempo, menor que 1. Então este intervalo não faz parte da solução, vamos ver agora o segundo caso:

Se $2x-3\leq 0$

$2x\leq 3$

$x\leq \frac{3}{2}$

Então $1-x<0$

$-x<-1$

$x>1$

Este intervalo é possível de acontecer. O conjunto solução em R então é dado por:

$S=\{x\in R\ |\ 1<x\leq \frac{3}{2}\}$

b) Mesmo raciocínio da anterior, só que vamos ter que pensar um pouco mais por causa da equação do segundo grau no numerador desta vez.

Se realizássemos a distributiva do numerador, teríamos uma equação do segundo grau como o coeficiente "a" positivo, isso significa que os valores positivos desta equação estão antes da menor raiz e depois da maior raiz. Não realizaremos tal distributiva porque nesta forma é mais fácil de encontrar as duas raízes.

As raízes do numerador são aquilo que zera a primeira ou a segunda equação do primeiro grau, ou seja, são -1 e -4

Se $x<-4$ ou $x>-1$

Então $x-2>0$

$x>2$

Não é possível algo ser menor que -4 e, ao mesmo tempo, maior que 2. Mas é possível algo ser maior que -1 e, ao mesmo tempo, maior que 2 (vai ser qualquer número maior que 2). Concluímos então que o primeiro intervalo que resolve esta inequação é $x>2$.

No numerador os valores de "x" que geram valores negativos estão entre as raízes (pois o coeficiente "a" depois de realizarmos a distributiva seria um valor positivo), mesmo raciocínio da letra a) novamente:

Se $-4<x<-1$

Então $x-2<0$

$x<2$

Tudo que está no intervalo do "se" também obedece o "então", logo o segundo intervalo que resolve esta inequação é $-4<x<-1$

Diferente da letra a), esta aqui conta com dois intervalos possíveis para solução, isso gera o seguinte conjunto solução em R:

$S=\{x\in R\ |\ -4<x<-1\ ou\ x>2\}$