Question

integral de cos^3 x dx?​

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf \int cos {}^{3} xdx$

Como o cosseno está elevado a um expoente ímpar, quer dizer então que devemos usar a relação fundamental da trigonometria. Primeiro vamos fazer uma expansão:

$\sf \int cos {}^{2} x.cosx \: dx$

Pela relação fundamental da trigonometria sabemos que o cosseno ao quadrado é:

$\sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1 \\ \sf cos {}^{2} x = 1 - sen {}^{2} x$

Substituindo essa informação:

$\sf \int (1 - sen {}^{2} x).cosx \: dx\\ \\ \sf \int cosx \: dx - \int cosx.sen {}^{2} x \: dx$

A primeira integral é fácil de resolver, já a segunda devemos usar o método da integração por substituição. Chamaremos a função seno de "u" e vamos derivá-la:

$\sf u = senx\longrightarrow \frac{du}{dx} = cosx\longrightarrow du = cosx \: dx$

Fazendo as devidas substituições por "u":

$\sf senx - \int u {}^{2} dx\longrightarrow \sf senx - \frac{u {}^{3} }{3} + k \\ \\ \boxed{\sf senx - \frac{sen {}^{3} x}{3} + k}$

Espero ter ajudado