Question

Determine m de modo que a equação (m - 1)x² - mx - 2m - 2 = 0 tenha
raizes reais tais que -1 < X1 < X2.

obs: fiz as condições
∆>0 sendo: m<-2√2/3 ou m> 2√2/3

a x f(-1)>0 sendo:m<1/2 ou m>1

e a condição S/2 > -1 onde m<2/3 e m>1

quando fiz as interseções e fui checar o resultado só entra o intervalo m<-2√2/3
alguém pode apontar o meu erro?​

Answer 1

Para raízes reais, ∆ > 0.

m² + 4(2m + 2)(m - 1) > 0

m² + 8(m + 1)(m - 1) > 0

m² + 8(m² - 1) > 0

m² + 8m² - 8 > 0

9m² - 8 > 0

m² > 8/9

Como a > 0, antes da menor raiz e depois da maior raiz, o gráfico é positivo.

m > 2√2/3 e m < - 2√2/3 é a solução.

Resposta: S = {m E R / m > 2√2/3 e m < - 2√2/3 }

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

$\sf (m-1)x^2-mx-2m-2=0$

Para que as raízes sejam reais e diferentes, devemos ter $\sf \Delta > 0$

$\sf \Delta=(-m)^2-4\cdot(m-1)\cdot(-2m-2)$

$\sf \Delta=m^2+(-4m+4)\cdot(-2m-2)$

$\sf \Delta=m^2+8m^2+8m-8m-8$

$\sf \Delta=9m^2-8$

$\sf 9m^2-8 > 0$

$\sf 9m^2 > 8$

$\sf m^2 > \dfrac{8}{9}$

• $\sf m > \sqrt{\dfrac{8}{9}}$

$\sf m > \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

• $\sf m < -\sqrt{\dfrac{8}{9}}$

$\sf m < -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

Para $\sf m=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$, temos:

$\sf (m-1)x^2-mx-2m-2=0$

$\sf x=\dfrac{-(-m)\pm\sqrt{9m^2-8}}{m-1}$

$\sf x=\dfrac{m\pm\sqrt{9m^2-8}}{m-1}$

$\sf x=\dfrac{\frac{2\sqrt{2}}{3}\pm\sqrt{9\cdot\Big(\frac{2\sqrt{2}}{3}\Big)^2-8}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}-1}$

$\sf x=\dfrac{\frac{2\sqrt{2}}{3}\pm0}{\frac{2\sqrt{2}}{3}-1}$

$\sf x < -1$

$\sf \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ é aproximadamente 1

Para $\sf m > 1$, teremos $\sf m < \sqrt{9m^2-8}$ e $\sf m-1 > 0$, de modo que, uma das raízes sempre será negativa e, portanto, menor que $\sf -1$

Assim, $\sf m > \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ não serve

$\sf \red{S=\Big\{m\in\mathbb{R}~|~m < -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\Big\}}$