Question

Os vértices de um triângulo são os pontos A (0, 0),B (3, 2) e C (-1, 4).Qual a área desse triângulo? ​

Answer 1

$( \big( \Big( \bigg(\Bigg( A = 7\ u.a. \Bigg)\bigg)\Big)\big))$

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Explicação passo-a-passo:________✍

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☺lá novamente, Tresele. Vamos a mais um exercício❗  Ao final da resolução deixarei um link com um resumo sobre a fórmula a distância entre dois pontos que talvez te ajude com exercícios semelhantes no futuro. ✌

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☔ Temos que, graficamente, quando dizemos que um ponto P = (c,d) queremos dizer que o ponto P está situado nas coordenadas x = c e y = d, pois esta é a forma de identificarmos o "endereço" do ponto. Chamamos (c,d) de par ordenado.

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☔ A forma mais prática para encontrar a área neste tipo de exercício é dada por um estratégia matricial em que

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$\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & A = \dfrac{1}{2} \cdot |\ D\ | \\ & & \\ \end{array}}$

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☔ Sendo D a determinante da matriz e a nossa matriz da forma

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$A_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\\\x_b&y_b&1\\\\x_c&y_c&1\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\\\3&2&1\\\\-1&4&1\\\end{array}\right]$

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✋ Observe que esta determinante é a mesma utilizada para verificar condição de colinearidade entre 3 pontos (caso a Determinante seja igual à zero então os pontos são colineares). ✋

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☔ Segundo a regra de Sarrus temos que para encontrarmos a determinante de uma matriz $A_{xn}$ tal que x=n (ou seja, uma matriz quadrada) devemos adicionar n-1 colunas à direita da matriz sendo elas cópias das n-1 primeiras colunas de tal forma que nossa determinante será a soma das n diagonais multiplicativas, começando no termo a11, subtraído da soma das outras n diagonais multiplicativas, começando no termo a1n.

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☔ Começaremos escrevendo nossas n-1 colunas a mais à direita.

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$A_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\\\3&2&1\\\\-1&4&1\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0&0\\\\3&2\\\\-1&4\\\end{array}\right]$

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☔ Em seguida, vamos registrar as diagonais multiplicativas que iremos somar. Esta será nossa primeira (de três) diagonal multiplicada a ser somada.

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$A_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}0&.&.\\\\.&2&.\\\\.&.&1\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}.&.\\\\.&.\\\\.&.\\\end{array}\right]$

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Det(A) = 0*2*1 +  

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☔ Esta será nossa primeira (de três) diagonal multiplicada a ser subtraída.

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$A_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}.&.&.\\\\.&.&.\\\\.&.&1\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}.&0\\\\3&.\\\\.&.\\\end{array}\right]$

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Det(A) = 0*2*1 + 0*1*(-1) + 1*3*4 - 1*2*(-1) -  

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☔ Desta forma obtemos a equação e o resultado procurado:

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Det(A) = 0*2*1 + 0*1*(-1) + 1*3*4 - 1*2*(-1) - 0*3*1 - 0*1*4

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Det(A) = 0 + 0 + 12 - (-2) - 0 - 0

Det(A) = 14

$\boxed{ \ \ \ Det(A) = 14 \ \ \ }$

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☔ Portanto temos que

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A = 14 / 2

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$\boxed{ \ \ \ A = 7\ u.a. \ \ \ }$ ✅

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☔ Poderíamos também ter encontrado a Determinante pelo método de Sarrus montando a matriz geral para área de qualquer polígono convexo qualquer de n lados, dada da forma

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$A_{3,3} = \left[\begin{array}{lcccr}x_1&x_2&x_3&\dots &x_n\\\\y_1&y_2&y_3&\dots &y_n\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x_1\\\\y_1\\ \end{array}\right]$

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☔ Poderíamos também resolver este exercício calculando a distância entre os 3 pontos e em seguida utilizando a equação para a área de um triângulo qualquer através dos seus 3 lados conhecidos dada da forma

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$\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & A = \sqrt{P_s \cdot (P_s - AB) \cdot (P_s - AC) \cdot (P_s - BC)} \\ & & \\ \end{array}}$

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Sendo Ps o semi-perímetro dado pela metade do perímetro.

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Fica de exercício pra casa (não desanime quando encontrar √13, √17 e √20 como os lados, a conta ficará grande mas pelo menos uma vez na vida vale a pena encher umas 2 folhas de conta rs).

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✈  Sobre distância entre dois pontos (https://brainly.com.br/tarefa/35395415)

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☕ Bons estudos.

(Dúvidas nos comentários) ☄

________________________$\LaTeX$✍

❄☃ (+ cores com o App Brainly) ☘☀

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."

Answer 2

Resposta:

Área do triângulo ABC  = 7 ua ( aproximadamente)

( usando a Fórmula de Heron)

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

Os vértices de um triângulo são os pontos A (0, 0), B (3, 2) e C (-1, 4).

Qual a área desse triângulo?

Resolução :

1ª etapa Calcular a dimensão de cada lado do triângulo,

Vamos fazê-lo através da fórmula de distância entre dois pontos, conhecidas as suas coordenadas.

dAB = √(xb - xa)² + (yb - ya)²

(xb - xa)² + (yb - ya)² Esta expressão está toda debaixo da raiz quadrada

Distância de A ( 0 ; 0) a B ( 3 ; 2 )    

dAB = √( 3 - 0 )² + ( 2 - 0)² = √9 + 4 = √13 ≈ 3,61 u.c.

Distância de  B ( 3 ; 2 )   a   C ( - 1 ; 4 )  

dBC = √( - 1 - 3 )² + ( 4 - 2 )² = √16 + 4 = √20  ≈ 4,47 u.c

Distância de  C ( - 1 ; 4 )    a     A ( 0 ; 0 )

dCA = √( 0 - (- 1 ) )² + (0 - 4 )² = √1 + 16 = √17   ≈ 4,12 u.c.

2ª Etapa - Cálculo da área

Os lados têm diferentes dimensões.

Podemos usar a fórmula de Heron

A = √p * (p - a) * (p - b) *(p - c)

Nota →   p * (p - a) * (p - b) *(p - c)  esta expressão está toda debaixo da raiz quadrada.

Onde :

p = ( a + b + c ) /2    

a ; b ; c - são as dimensões dos lados do triângulo

Neste caso :  

p = ( 3,61 + 4,47 + 4,12  ) / 2 = 12,2 / 2 = 6,1

A = √6,1 * (6,1 - 3,61) * (6,1 - 4,47) *(6,1 - 4,12)

A = √6,1 * 2.49 * 1,63 * 1,98 = √49,02 = 7,001 ua

Área do triângulo ABC  = 7 ua

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir           (u. c.)  unidades de comprimento

( u. a.) unidades de área

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.