Question

Na imagem ao lado está representado um hexágono regular ABCDEF de área igual a 94 cm2 e algumas de suas diagonais. Calcule a área total da parte cinza indicada na figura

Answer 1

Bom, primeiramente devemos notar que os triângulos brancos são isósceles com o ângulo da base igual a 30 e os triângulos cinzas são equiláteros. Isto pode ser demonstrado desenhando as outras diagonais.

Seja o lado deste hexágono L. Para achar o lado do triângulo cinza, podemos utilizar lei dos cossenos. Chamemos o lado do triângulo cinza de K:

$L^2 = K^2 +K^2 -2\cdot K \cdot K \cdot \cos(120 \º)$

$L^2 = 2K^2 +2\cdot K^2\cdot \dfrac{1}{2}$

$L^2 = 2K^2 +K^2$

$L^2 = 3K^2$

$K = \dfrac{\sqrt{3}\cdot L}{3}$

A área cinza é dada por 6 vezes a área de um triângulo cinza.

$A = 6\cdot A_{c}$

A área de um triângulo equilátero é dada por:

$A_c = \dfrac{\sqrt{3}\cdot K^2}{4}$

$A_c = \dfrac{\sqrt{3} }{4}\cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}\cdot L}{3}\right)^2$

$A_c = \dfrac{\sqrt{3} }{4}\cdot \dfrac{3\cdot L^2}{9}$

$A_c =\dfrac{3\sqrt{3}\cdot L^2}{36}$

A área total é 6 vezes isso:

$A = 6\cdot \dfrac{3\sqrt{3}\cdot L^2}{36}$

$A = \dfrac{3\sqrt{3}\cdot L^2}{6}$

Lembrando a fórmula da área de um hexágono:

$A_h = \dfrac{3\sqrt{3}L^2}{2}$

Voltando pra nossa área:

$A = \dfrac{3\sqrt{3}\cdot L^2}{6}$

$A = \dfrac{3\sqrt{3}\cdot L^2}{2}\cdot \dfrac{1}{3}$

$A = A_h \cdot \dfrac{1}{3}$

$A = \dfrac{94}{3}$

$A = 31.33\cdots$