Question

Na imagem ao lado está representado um hexágono regular ABCDEF de área igual a 94 cm2 e algumas de suas diagonais. Calcule a área total da parte cinza indicada na figura

Answer 1

A área total da parte cinza é 18√3 cm²

Explicação passo-a-passo:

A fórmula para calcular a área do hexágonoregular (Ahex) de lado L é:

$A_{hex} = \dfrac{3 L^2 \sqrt{3} }{2}$

então, como temos o valir da área no enunciado, podemos deacobrir L:

$94cm^2 = \dfrac{3 L^2 \sqrt{3} }{2} \\ \\2 \times 94cm^2 = 3 L^2 \sqrt{3}$

$188 \: cm^2 = 3 L^2 \sqrt{3} \\ \\ \frac{188 \: cm^2 }{3 \sqrt{3}} = L^2$

tomando √3 como aproximadamente 1,73 temos:

$\dfrac{188 \: cm^2 }{3 \times (1.73)} = L^2 \\ \\ L^2 = \dfrac{188 \: cm^2 }{5.2} = 36.15\: cm^2$

$\sqrt{L^2} = \sqrt{36.15\: cm^2} \\ \\ L = 6.01 \: cm$

Podemos aproximar que o lado do hexágono tem 6cm.

Observe que, como se tratam dessas diagonais, os pequenos triângulos em cinza são equilateros. Vamos chamar o lado desses pequenos triângulos de x.

(do lado esquerdo) Tomando o triângulo ABC sabemos 2 dos seus lados, pois são iguais ao lado do hexágono (AB = BC = L). Seu lado maior AC, que podemos chamar de base, é igual a 3 vezes o lado dos pequenos triângulos.

Portanto a base é igual a 3x.

Como se trata de um hexágono regular sabemos que todos seus ângulos internos são iguais a 120°.

Então temos um triângulos ABC, que sabemos 2 de seus lados e o ângulo entre eles.

Podemos usar a Lei dos Cossenos, que é expressa por:

$a^2 = b^2 + c^2 – 2·b·c·cosθ$

(onde o ângulo θ é oposto ao lado a)

Substituindo pelos valores do exercício temos :

$(AC)^2 = (L)^2 + (L)^2 – 2·(L)·(L)·cos 120°$

$(AC)^2 = 2(6)^2 – \: 2(6)^2· (-0,5) \\ (AC)^2 = 2 \times 36 \: – \: 2 \times 36 (-0,5) \\ (AC)^2 = \: \: \: 72 \: \: \: \: –\: \: \: (–36)\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$(AC)^2 = 108\\ AC =\sqrt{108}$

$(AC) =6\sqrt{3}$

Como AC = 3x

$6\sqrt{3}=3x$

$x= \dfrac{6\sqrt{3}}{3}$

$x= 2\sqrt{3}$

Agora que descobrimos o lado do pequeno triângulo, podemos calcular a área em cinza (Acinza)que é a soma dos 6 pequenos triângulos:

$A_{cinza}= 6 × A_{triangulo}$

A área de um triângulo equilátero é dada por:

$A_{triangulo} = \dfrac{x² \sqrt{3}}{4}$

Portanto:

$A_{cinza}= 6 × \dfrac{x² \sqrt{3}}{4}$

(como x =2√3)

$A_{cinza}= 6 × \dfrac{(2\sqrt{3})² \sqrt{3}}{4}$

$A_{cinza}= 6 × \dfrac{2²\sqrt{3}²\sqrt{3}}{4}$

$A_{cinza}= 6 × \dfrac{4×3\sqrt{3}}{4}$

$A_{cinza}= 6 × 3\sqrt{3}$

$A_{cinza}= 18\sqrt{3}\: \: \: ✓✓$