Na imagem ao lado está representado um hexágono regular ABCDEF de área igual a 94 cm2 e algumas de suas diagonais. Calcule a área total da parte cinza indicada na figura
Respostas
A área total da parte cinza é 18√3 cm²
Explicação passo-a-passo:
A fórmula para calcular a área do hexágonoregular (Ahex) de lado L é:
então, como temos o valir da área no enunciado, podemos deacobrir L:
tomando √3 como aproximadamente 1,73 temos:
Podemos aproximar que o lado do hexágono tem 6cm.
Observe que, como se tratam dessas diagonais, os pequenos triângulos em cinza são equilateros. Vamos chamar o lado desses pequenos triângulos de x.
(do lado esquerdo) Tomando o triângulo ABC sabemos 2 dos seus lados, pois são iguais ao lado do hexágono (AB = BC = L). Seu lado maior AC, que podemos chamar de base, é igual a 3 vezes o lado dos pequenos triângulos.
Portanto a base é igual a 3x.
Como se trata de um hexágono regular sabemos que todos seus ângulos internos são iguais a 120°.
Então temos um triângulos ABC, que sabemos 2 de seus lados e o ângulo entre eles.
Podemos usar a Lei dos Cossenos, que é expressa por:
(onde o ângulo θ é oposto ao lado a)
Substituindo pelos valores do exercício temos :
Como AC = 3x
Agora que descobrimos o lado do pequeno triângulo, podemos calcular a área em cinza (Acinza)que é a soma dos 6 pequenos triângulos:
A área de um triângulo equilátero é dada por:
Portanto:
(como x =2√3)