Question

4 - Construa o gráfico das funções. Para estudar os conceitos abordados na aula de hoje, determine as raízes, as coordenadas do vértice e determine a imagem de cada função.
a) F(x) = x2 – x -2 b) f(x) = x2 – 16 c) f(x) = -2x2 +5x -2

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) $\sf f(x)=x^2-x-2$

=> As raízes da função

$\sf x^2-x-2=0$

$\sf \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)$

$\sf \Delta=1+8$

$\sf \Delta=9$

$\sf x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm3}{2}$

$\sf x'=\dfrac{1+3}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{4}{2}~\Rightarrow~\red{x'=2}$

$\sf x"=\dfrac{1-3}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-2}{2}~\Rightarrow~\red{x"=-1}$

O gráfico intercepta o eixo x nos pontos $\sf (2,0)~e~(-1,0)$

=> As coordenadas do vértice

• $\sf x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{-(-1)}{2\cdot1}$

$\sf \red{x_V=\dfrac{1}{2}}$

• $\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf y_V=\dfrac{-9}{4\cdot1}$

$\sf \red{y_V=\dfrac{-9}{4}}$

O vértice é $\sf V\Big(\dfrac{1}{2},\dfrac{-9}{4}\Big)$

=> A imagem da função

$\sf Im(f)=\Big\{y\in\mathbb{R}~|~y \ge \dfrac{-9}{4}\Big\}$

O gráfico está em anexo (em azul)

b) $\sf f(x)=x^2-16$

=> As raízes da função

$\sf x^2-16=0$

$\sf x^2=16$

$\sf x=\pm\sqrt{16}$

• $\sf \red{x'=4}$

• $\sf \red{x"=-4}$

O gráfico intercepta o eixo x nos pontos $\sf (-4,0)~e~(4,0)$

=> As coordenadas do vértice

• $\sf x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{-0}{2\cdot1}$

$\sf x_V=\dfrac{0}{2}$

$\sf \red{x_V=0}$

• $\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf \Delta=0^2-4\cdot1\cdot(-16)$

$\sf \Delta=0+64$

$\sf \Delta=64$

$\sf y_V=\dfrac{-64}{4\cdot1}$

$\sf \red{y_V=-16}$

O vértice é $\sf V(0,-16)$

=> A imagem da função

$\sf Im(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y \ge -16\}$

O gráfico está em anexo (em vermelho)

c) $\sf f(x)=-2x^2+5x-2$

=> As raízes da função

$\sf -2x^2+5x-2=0$

$\sf \Delta=5^2-4\cdot(-2)\cdot(-2)$

$\sf \Delta=25-16$

$\sf \Delta=9$

$\sf x=\dfrac{-5\pm\sqrt{9}}{2\cdot(-2)}=\dfrac{-5\pm3}{-4}$

$\sf x'=\dfrac{-5+3}{-4}~\Rightarrow~x'=\dfrac{-2}{-4}~\Rightarrow~\red{x'=\dfrac{1}{2}}$

$\sf x"=\dfrac{-5-3}{-4}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-8}{-4}~\Rightarrow~\red{x"=2}$

O gráfico intercepta o eixo x nos pontos $\sf \Big(\dfrac{1}{2},0\Big)~e~(2,0)$

=> As coordenadas do vértice

• $\sf x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{-5}{2\cdot(-2)}$

$\sf x_V=\dfrac{-5}{-4}$

$\sf \red{x_V=\dfrac{5}{4}}$

• $\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf y_V=\dfrac{-9}{4\cdot(-2)}$

$\sf y_V=\dfrac{-9}{-8}$

$\sf \red{y_V=\dfrac{9}{8}}$

O vértice é $\sf V\Big(\dfrac{5}{4},\dfrac{9}{8}\Big)$

=> A imagem da função

$\sf Im(f)=\Big\{y\in\mathbb{R}~|~y \le \dfrac{9}{8}\Big\}$

O gráfico está em anexo (em verde)