Question

Resolva a inequação em R

$\dfrac{2}{x-1}\leqslant\dfrac{1}{x}$

Só responda se souber

Answer 1

De maneira semelhante ao que foi feito na outra questão que você propôs, definiremos aqui duas funções reais f(x) e g(x) tais que

$\begin{cases}\sf f(x)=\dfrac{2}{x-1}\\\\ \sf e\\\\ \sf g(x\:\!)=\dfrac{1}{x}\end{cases}$

Com base nas leis de formação de f e g, deduzimos facilmente que seus domínios são, respectivamente, D₁ = ℝ \ {1} e D₂ = ℝ \ {0}. Como sabemos, o intuito desta resolução é encontrar o intervalo real possuidor de todos os infinitos valores que satisfazem f(x) ≤ g(x), isto é,

$\sf \dfrac{2}{x-1}\leqslant\dfrac{1}{x}\qquad(\:I\:)$

Dos domínios D₁ e D₂, vimos que x difere de 1 e também de 0, ou seja, x – 1 ≠ 0 e x ≠ 0. Por este motivo, a inequação ( I ) tornar-se-á

$\sf \dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x}\leqslant 0 \\\\\\ \sf \dfrac{2}{x-1}\cdot 1-\dfrac{1}{x}\cdot 1\leqslant 0 \\\\\\ \dfrac{2}{x-1}\cdot \dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{x-1}{x-1}\leqslant 0 \\\\\\ \sf \dfrac{2\:\!x}{x(x-1)}-\dfrac{x-1}{x(\:\!x-1)}\leqslant 0\\\\\\ \sf \dfrac{2\:\!x-(x-1)}{x(x-1)}\leqslant 0\\\\\\ \sf \dfrac{2\:\!x-x+1}{x\:\!(x-1)}\leqslant0\\\\\\ \sf \dfrac{x+1}{x(x-1)}\leqslant 0\qquad(\:II\:)$

Perceba que os valores reais que satisfazem a inequação ( I ) são os mesmos que satisfazem ( II ), pois, como vimos, elas são equivalentes para todo x pertencente à interseção de D₁ e D₂. A fim de estudar com mais facilidade os sinais do quociente (função racional) no primeiro membro de ( II ), vamos agora analisar separadamente os sinais das funções afins h(x) = x + 1 (numerador), k(x) = x (fator no denominador) e p(x) = x – 1 (fator no denominador).

$\begin{cases}\sf h(x\:\!)\geqslant 0\ \ \rightarrow\ \ x\geqslant -1\\\\ \sf h(x\:\!)\leqslant 0\ \ \rightarrow\ \ x\leqslant -1\end{cases}\\\\\\\\ \begin{cases}\sf k(x)>0\ \ \rightarrow\ \ x>0\\\\ \sf k(x)<0\ \ \rightarrow\ \ x<0\end{cases}\\\\\\\\ \begin{cases}\sf p(x\:\!)>0\ \ \rightarrow\ \ x>1\\\\ \sf p(x\:\!)<0\ \ \rightarrow\ \ x<1\end{cases}$

Baseando-se nos resultados adquiridos acima, construímos o seguinte quadro de sinais para h(x), k(x) e p(x):

$\large\begin{array}{l}\sf h(x)\quad\: \!\overset{\!\!\!\!-----\!}{\textsf{-----------}}\!\!\!\!\:\!\:\!\!\!\:\!\underset{-1}{\bullet}\!\!\:\!\!\!\!\!\:\!\overset{\:\!\:\!+++++++++++++++++++}{\textsf{-----------------------------------}}\!\!\!\!\!\:\!\:\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

$\large\begin{array}{l}\sf k(x)\quad\: \!\overset{\!------------\!\:\!}{\textsf{---------------------}}\!\!\!\:\!\:\!\:\!\:\!\underset{\:\!0}{\circ}\!\!\:\!\overset{\!++++++++++++}{\textsf{-----------------------\!}}\!\!\!\!\:\!\:\!\!\:\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

$\large\begin{array}{l}\sf p(x)\quad\: \!\overset{------------------}{\textsf{--------------------------------}}\!\!\:\!\:\!\underset{\:\!1}{\circ}\!\!\:\!\overset{\!\!\!\!++++++}{\textsf{------------}}\!\!\!\!\!\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

Efetuando primeiro a "multiplicação" dos sinais de k(x) e p(x) em cada um dos intervalos considerados e, em seguida, fazendo a divisão dos sinais de h(x) pelos sinais do produto k(x)p(x), encontraremos:

$\large\begin{array}{l}\sf \dfrac{h(x)}{k(x)\cdot p(x)}\quad\ \:\! \!\overset{\!\!\!\!------\!\!\1\1\!\!}{\textsf{-----------}}\!\!\!\!\!\:\!\:\!\:\!\:\!\:\!\:\!\:\!\underset{-1}{\bullet}\!\!\!\!\!\overset{+++++++\!\!\!\!}{\textsf{--------------}}\!\!\!\:\!\:\!\:\!\:\!\underset{\:\!\:\!0}{\circ}\!\!\:\!\overset{------\!\:\!}{\textsf{------------}}\!\!\:\!\:\!\!\:\!\:\!\underset{\:\!1}{\circ}\!\!\:\!\overset{\!\!++++++\!\!}{\textsf{-----------}}\!\!\!\:\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

, donde concluímos facilmente que f(x) ≤ g(x) para x ≤ – 1 ou 0 < x < 1.

Resposta: o conjunto solução S da inequação é representado por

$\boxed{\boxed{\boxed{\large\begin{array}{l}\\ \sf S=\big\{x\,\in\,\mathbb{R}\,|\ \,x\leqslant-1\ \ ou\ \ \:\!0<x<1\big\}\\ \\ \end{array}}}}$

, ou ainda

$\boxed{\boxed{\boxed{\large\begin{array}{l}\\ \sf S=\big]\!-\infty\,\:\!\:\!,\:\!\:\!-1\:\!\:\!\big]\: \cup\ \big]\:\!\:\!0\, , \:\!\:\!1\big[\\ \\ \end{array}}}}$

Obs.: caso tenha problemas na visualização das equações (escritas em LaTeX), experimente visualizar a resposta pelo navegador, acessando o link: https://brainly.com.br/tarefa/36047856.