Question

A transformação linear T: R²→R² onde T (( 1,2)) = (6,-4) e T ((2,1)) = (9,1) é melhor representada pela alternativa.
a) T ((x,y)) = (4x+y, 2x - 3y)
b) T ((x,y)) = (3x + 7y, x + y)
c) T ((x,y)) = (2x+ 5y, x - 2y)
d) T ((x,y)) = (x + 5y, 3x - y

Answer 1

Queremos achar T(x,y) e temos T(1,2) e T(2,1). Veja que (1,2) e (2,1) são bases do R², portanto essa transformação está bem definida.

Nosso objetivo é escrever um vetor qualquer (x,y) como combinação linear de (1,2) e (2,1), para que possamos aplicar a linearidade das transformações lineares e achar T(x,y) em função de T(1,2) e T(2,1)

Portanto, precisamos achar α e β que satisfazem o sistema:

$\alpha(1,2)+\beta(2,1)=(x,y)$

Escrevendo e escalonando a matriz aumentada desse sistema:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&~~x\\2&1&~~y\end{array}\right]~~l_{2}\leftarrow l_{2}-2l_{1}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&2&~~x\\0&-3&~~y-2x\end{array}\right]~~l_{2}\leftarrow(-\frac{1}{3})l_{1}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&2&~~x\\0&1&~~(\frac{2x-y}{3})\end{array}\right]~~l_{1}\leftarrow l_{1}-2l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&0&~~x-2(\frac{2x-y}{3})\\0&1&~~(\frac{2x-y}{3})\end{array}\right]$

Portanto:

$\alpha=x-2\left(\dfrac{2x-y}{3}\right)=x-\dfrac{(4x-2y)}{3}=\dfrac{3x-4x+2y}{3}=\dfrac{-x+2y}{3}\\\\\\\beta=\dfrac{2x-y}{3}$

Então:

$T(x,y)=T\left(\left[\dfrac{-x+2y}{3}\right](1,2)+\left[\dfrac{2x-y}{3}\right](2,1)\right)$

Pela linearidade das TL's:

$T(x,y)=\left(\dfrac{-x+2y}{3}\right)T(1,2)+\left(\dfrac{2x-y}{3}\right)T(2,1)\\\\\\T(x,y)=\left(\dfrac{-x+2y}{3}\right)(6,-4)+\left(\dfrac{2x-y}{3}\right)(9,1)\\\\\\T(x,y)=\left(2(-x+2y),~\dfrac{4x-8y}{3}\right)+\left(3(2x-y),~\dfrac{2x-y}{3}\right)\\\\\\T(x,y)=\left(-2x+4y+6x-3y,~\dfrac{4x-8y+2x-y}{3}\right)\\\\\\T(x,y)=\left(4x+y,~\dfrac{6x-9y}{3}\right)\\\\\\T(x,y)=\left(4x+y,~\dfrac{3(2x-3y)}{3}\right)\\\\\\\boxed{\boxed{T(x,y)=(4x+y,~2x-3y)}}$

Answer 2

Pega um dos vetores, ex t (1,2) substitui na letra a (4.1+2,2.1-3.2)= (4+2, 2-6) então  (6-4) letra A