Question

Determine a área de um triangulo escaleno
de lados 8 m, 13 m e 15 m.

Answer 1

A área de um triângulo pode ser calculado pela seguinte fórmula :

$\boxed{\displaystyle \text S = \frac{a.b.\text{sen}(\theta)}{2} }$

Onde :

$\text S =$ área

$\text{a \ e \ b } =$ lados do triângulo

$\theta =$ ângulo entre os lados a e b.

Bora pra questão.

Temos um triângulo de lados : 8 m , 13 m e 15 m.

Vamos usar os lados 8 e 13 para usar na fórmula da área.

1º vamos achar o ângulo entre os lados 8 e 13, usando lei dos cossenos :

$15^2 = 8^2+13^2-2.8.13.\text{cos}(\theta)$

$225 = 64+169-2.8.13.\text{cos}(\theta)$

$2.8.13.\text{cos}(\theta) = 233 - 225$

$\displaystyle \text{cos}(\theta) = \frac{8}{2.8.13}$

$\displaystyle \text{cos}(\theta) = \frac{1}{26}$

Agora vamos achar o seno do ângulo usando a relação fundamental da trigonometria :

$\text{sen}^2(\theta) +\text{cos}^2(\theta) = 1$

$\displaystyle \text{sen}^2(\theta) +(\frac{1}{26})^2 = 1$

$\displaystyle \text{sen}^2(\theta) = \frac{26^2-1}{26^2} \to sen^2(\theta) = \frac{(26-1)(26+1)}{26^2} \to sen^2(\theta) = \frac{25.9.3}{26^2}$

$\displaystyle sen(\theta) = \sqrt{\frac{25.9.3}{26^2}} \to \boxed{sen(\theta) = \frac{15\sqrt{3}}{26}}$

Substituindo na fórmula da área :

$\displaystyle \text S = \frac{1}{2}.\frac{8.13.15\sqrt{3}}{26} \to \text S = \frac{1}{2}.\frac{8.13.15\sqrt{3}}{2.13}$

$\huge\boxed{\displaystyle \text S = 30\sqrt{3}}$