Question

Calcule os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existem) de:

$b: y=x^2\sqrt{16-x}\\c: y= x^4 + \frac{4x^3}{3} + 3x^2$

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$\sf y=x^2\sqrt{16-x} \: \: \: \: e \: \: \: \: y= x^4 + \frac{4x^3}{3} + 3x^2$

Primeiro vamos encontrar os pontos de máximo e de mínimo da função "b". Para encontrar esses tais pontos, vamos seguir alguns passos:

$\sf 1) \: derivar \: a \: func \tilde{a}o \: 2 \: vezes\\ \sf 2)pontos \: cr \acute{i}ticos \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf 3) \: substituic \tilde{a}o \: dos\: pontos \: \\ \sf na \: derivada \: segunda .$

Seguindono roteiro vamos derivar a função 2x.

$\sf y = x {}^{2} \sqrt{16 - x} \longrightarrow y' = \frac{ - 5x {}^{2} + 64x }{2( - x + 16) {}^{ \frac{1}{2} } } \longrightarrow y '' = \frac{15x {}^{2} - 384x + 2048}{2( - x + 16) {}^{ \frac{1}{2} } .( - 2x + 32)}$

Agora vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores que anulam a derivada primeira:

$\sf \frac{ - 5x {}^{2} + 64x }{2( - x + 16) {}^{ \frac{1}{2} } } = 0\longrightarrow - 5x {}^{2} + 64x = 0.2( - x + 16) {}^{ \frac{1}{2} } \\ \\ \sf - 5x {}^{2} + 64x = 0\longrightarrow \begin{cases} \sf x_ 1 = 0 \\ \sf x_ 2 = \frac{64}{5} \end{cases}$

Substituindo esses pontos críticos na derivada segunda e assim analisar o sinal da mesma:

$\sf y '' = \sf \frac{15x {}^{2} - 384x + 2048}{2( - x + 16) {}^{ \frac{1}{2} } .( - 2x + 32)} \\ \\ \sf para \: x = 0 \\ \\ \sf y ''(0) = \frac{15.0 {}^{2} - 384.0 + 2048}{2( - 0 + 16) {}^{ \frac{1}{2} } .( - 2.0 + 32)} \\ \\ \sf y '' (0)= \frac{2048}{2 \sqrt{ ( 16)}.( 32)} \\ \\ \sf y ''(0) = \frac{2048}{2.4.32} \\ \\ \sf y ''(0) = 8 \\ \\ \\ \sf$

Não é nem necessário fazer a substituição do valor 64/5 e analisar o sinal, pois basta ver que se substituirmos esse valor no numerador será um valor negativo. Portanto temos que:

$\sf y '' > 0 \to m \acute{i}nimo \\ \sf y '' < 0 \to m \acute{a}ximo \\ \\ \sf x = 0 \to m \acute{i}nimo \: \: \: \: e \: \: \: \: x = \frac{64}{5} \to m \acute{a}ximo$

Agora vamos para a segunda função, para encontrar os pontos da segunda função seguiremos o mesmo passo anterior.

$\sf y= x^4 + \frac{4x^3}{3} + 3x^2 \longrightarrow y ' = 4x {}^{3} + 4x {}^{2} + 6x\longrightarrow y '' = 12x {}^{2} + 8x + 6$

Encontrando os pontos críticos da derivada primeira:

$\sf 4x {}^{3} + 4x {}^{2} + 6x = 0 \\ \begin{cases}x_1 = 0\\ x_ 2 = - \frac{1 - 5i}{2} \\ x_ a = - \frac{1 + 5i}{2} \end{cases}$

Como estamos trabalhando com o conjunto dos reais, podemos desprezar os valores imaginários. Agora vamos substituir esse valor real na derivada segunda.

$\sf y '' = 12x {}^{2} + 8x + 6 \\ \sf para \: x = 0 \\ \sf \\ \sf y ''(0) = 12.0 {}^{2} + 8.0 + 6 \\ \sf y ''(0) = 6$

Como o valor foi positivo, quer dizer então que há um mínimo local no ponto em que x = 0.

$\sf x = 0 \to m \acute{i}nimo$

Essa função não possui máximo.

Espero ter ajudado