Question

MATEMÁTICA URGENTE >
determine P , de modo que f(x) = p x² - (p-1) x possua zeros reais e iguais

Answer 1

Vamos primeiro definir uma coisa:
- Zero de uma função: é o valor em que quando atribuímos a x fará com que a função tenha valor zero(zero da função pode ser chamado de raiz da função também).
- Dizer que uma função tem zeros reais é o mesmo que dizer que as suas raízes estão dentro do conjunto dos números reais e que pelo menos 1 dos pontos da função toca o eixo das abscissas(x).
- Como a função é quadrática(maior grau é 2), dizer que ela tem zeros reais e iguais, é o mesmo que dizer que:
$\Delta = \sqrt{b^2-4ac} =0$

Baseado nas informações que relembramos, podemos tomar o seguinte:
$f(x) = px^2-(p-1)x$
Observando esta função, sabemos que:
$a=p\\ b=(p-1)\\ c = 0$

Como o delta desta função vale zero, podemos substituir os valores da função em delta.
$\Delta = \sqrt{b^2-4ac} \\ \sqrt{b^2-4ac} =0\\ \sqrt{(p-1)^2-4*p*0} =0$
Observe que (p-1)² é um produto notável(quadrado da soma de dois termos) e 4*p*0 = 0, visto que qualquer número multiplicado por 0 equivale a zero.

Então, teremos:
$\sqrt{(p-1)^2-4*p*0} =0 \\ \sqrt{p^2-2p+1}=0$

Elevando os dois lados ao quadrado:
$\sqrt{(p^2-2p+1}) =0\\ (\sqrt{(p^2-2p+1}))^2 =0^2\\ p^2-2p+1=0$

Agora resolvemos esta equação do segundo grau para obtermos o valor de p.
Pelas relações de Girard, temos:
$p'+p'' = -b\\ p'*p'' = c\\\\ p'+p''=2 \\p'*p''=1\\\\ p'=1 \\p''=1$

Logo, descobrimos que o valor de p que fará com que a função tenha zeros reais e iguais é 1.
Informação adicional: A parábola formada pela f(x) toca o eixo das abscissas(x) no ponto(1,0).
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OBS: Meu objetivo é lhe ajudar ensinando o que ainda não sabe e/ou tirando suas dúvidas. Desculpe se minha resposta foi extensa/cansativa repetindo coisas que você já sabe. 

OBS 2: Tente ler e entender o que foi passado e refazer a questão sem olhar aqui. Faça mais exercícios parecidos para ficar craque e arrebentar na prova!

Espero que tenha lhe ajudado, qualquer dúvida, comente.Peço por favor que qualifique minha resposta se lhe ajudei
Bons estudos!