Question

Qual a area entre y=x^2 e y=x+2. Encontrando o resultado da area multiplicar por 2

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$y = x {}^{2} \: \: e \: \: y = x + 2$

A primeira coisa que devemos encontrar para que possamos calcular a área formada entre essas duas funções são os pontos de interseção da mesma, já que esses pontos serão os limites de integração, isto é , de onde até onde integrar.

Para encontrar os pontos de intersecção basta igualar as duas funções e resolver:

$x {}^{2} = x + 2 \longrightarrow x {}^{2} - x - 2 = 0 \\ \begin{cases} x_1 = 2 \\x_2 = - 1 \end{cases}$

Portanto a nossa integral irá de -1 à 2. O próximo passo é montar a função que representa essa tal área, pelo que sabemos essa área é representada pela subtração da função acima pela função abaixo, então temos:

$\int\limits_{ - 1}^{2}x + 2 - x {}^{2} dx$

Integrando a função sem os limites:

$\int x + 2 - x {}^{2}dx = \int xdx + \int 2dx - \int x {}^{2} dx \\ \\ \int xdx + \int 2dx - \int x {}^{2} dx = \boxed{\frac{x {}^{2} }{2} + 2x - \frac{x {}^{3} }{3} \bigg |_{ - 1}^{2}}$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$\frac{(2){}^{2} }{2} + 2.2 - \frac{2 {}^{3} }{3} - \left( \frac{( - 1 ){}^{2} }{2} + 2.( - 1) - \frac{( - 1) {}^{3} }{3} \right) \\ \\ 2 + 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} \\ \\ 8 - 3 - \frac{1}{2} \\ \\ \boxed{ \boxed{\frac{9}{2} u.a}}$

A questão ainda diz que devemos multiplicar essa área por 2:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \frac{9}{2} .2 = 9 \: u.a}}}}$

Espero ter ajudado