Question

Determinar a área entre as curvas y=x^2, y=1, x=0 e x=2

Answer 1

Primeiramente vamos entender o que quer dizer y = 1, x = 0 e x = 2, essa notação não quer dizer nada mais nada menos que uma reta paralela ao eixo oposto, ou seja, y = 1 é uma reta paralela ao eixo "x" quando y = 1, do mesmo jeito x = 0 e x = 2, então sabemos que a nossa Integração será de 0 a algum valor, pois esses são os limites informados. Se plotarmos esse gráfico você observada duas áreas formadas, então teremos que fazer a integração de uma área e somar com a outra.

• Encontrando os pontos de intersecção das funções da primeira área.

$\sf x {}^{2} = 1\Longrightarrow x = \sqrt{1} \Longrightarrow x = \pm1$

Vamos desprezar o valor negativo -1, já que a questão já nos informa que x = 0 e x = 2, ou seja, devem estar dentro desse intervalo.

• Montando a equação que representa a primeira área formada.

Nesse primeira área a função y = 1 está acima da função x², então seja a subtração da função que está acima pela que está abaixo, logo:

$\sf \int\limits_{0}^{1}(1 - x {}^{2}) dx$

• Na segunda área não será necessário encontrar os pontos de intersecção, pois a mesma parte de x = 1 e vai até x =2.
• A equação que representa a segunda área formada será dada pela função x² que está acima subtraida da função y = 1 que está abaixo, então:

$\sf \int\limits_{1}^{2}(x {}^{2} - 1) dx$

Somando essas duas integrais, tem-se:

$\sf \int\limits_{0}^{1}(1 - x {}^{2}) dx + \int\limits_{1}^{2}( x {}^{2} - 1) dx$

Esquecendo os limites de Integração:

$\sf \int (1 - x {}^{2} )dx + \int (x {}^{2} - 1) dx \\ \\ \sf \left( \int1dx - \int x {}^{2} dx \right) + \left( \int x {}^{2} dx - \int1dx \right) \\ \\ \sf \left( x - \frac{x {}^{3} }{3} \bigg |_{0}^{1} \right)+ \left( \frac{x {}^{3} }{3} - x \bigg |_{1}^{2} \right)$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$\left( \sf 1 - \frac{1 {}^{3} }{ 3} -0 + \frac{0 {}^{3} }{3} \right) + \left( \sf \frac{2 {}^{3} }{3} - 2 - \frac{1 {}^{3} }{3} + 1 \right) \\ \\ \sf 1 - \frac{1}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} - 1 \\ \\ \sf \frac{8}{3} - \frac{2}{3} \\ \\ \sf \frac{6}{3} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf 2 \: u.a}}}$

Espero ter ajudado