O triângulo equilátero ABC abaixo tem seus vértices nos centros das circunferências, que são tangentes duas a duas, e têm raios r=6 cm.
Calcule, em cm², a área assinalada de verde.
Respostas
Resposta:
Área da área verde = 36√3 - 18 π cm²(valor exato )
Área da área verde = 62,35 - 56,55 = 5,8 cm² ( valor aproximado
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
O triângulo equilátero ABC abaixo tem seus vértices nos centros das circunferências, que são tangentes duas a duas, e têm raios r = 6 cm.
Calcule, em cm², a área assinalada de verde.
Resolução:
Peço que leia com atenção / paciência pois a demonstração e cálculos são um bocado prolongados.
Recolher informação
1 ) Lado do triângulo ABC = 12 cm
porque [AC] = 2 * raio = 2 * 6 = 12 cm
2 ) Área triângulo ABC = ( L² * √3 ) / 4 = ( 12² * √3) / 4
= (12 * 12 * √3) / 4 = (4 * 3 * 12 * √3 ) /4 = 36√3 cm²
(O quatro do denominador cancela com o 4 do numerador)
Esta é a fórmula ( L² * √3 ) / 4 que dá a área de qualquer triângulo equilátero, sem necessitar de usar a altura do mesmo.
Se a pretender demonstrar, calcule a área de um triângulo equilátero de lado L (unidades de comprimento (u . c))
Se não , consulte a "net".
3) Cada ângulo interno deste triângulo mede 60 º .
Prova → a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 º.
Os três lados são iguais.
Num triângulo a lados iguais opõe-se ângulos iguais ( e vice versa)
Logo 180º / 3 = 60 º
4 ) Ângulo ABC é um ângulo central de medida 60 º.
5 ) O setor circular definido por cada ângulo central de 60 º.
( 36 0 º / 60 = 6) , representa a sexta parte (1/6) da área de qualquer destas circunferências.
6 ) Sendo a área de qualquer uma das circunferências
= π * raio² = 6²π = 36 π cm²
7) A área de qualquer desses três setores circulares é = área da circunferência a dividir por 6
Portanto 36 π cm² / 6 = 6 π cm²
( seis setores circulares compõe toda a circunferência )
8 ) Os três setores circulares têm de área 3 * 6 π cm² = 18 π cm²
Cálculo da área a verde :
9 ) A área a verde = área do triângulo ABC - área dos 3 setores circulares
A área a verde = 36√3 - 18 π cm².
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Sinais: ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( L ) lado do triângulo ABC
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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.
Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a
resolução a possa compreender otimamente bem.