Question

O triângulo equilátero ABC abaixo tem seus vértices nos centros das circunferências, que são tangentes duas a duas, e têm raios r=6 cm.
Calcule, em cm², a área assinalada de verde.

Answer 1

Resposta:

Área da área verde =  36√3 - 18 π cm²(valor exato )

Área da área verde =  62,35 - 56,55 = 5,8 cm² ( valor aproximado

Explicação passo-a-passo:

Pedido:      

O triângulo equilátero ABC abaixo tem seus vértices nos centros das circunferências, que são tangentes duas a duas, e têm raios r = 6 cm.

Calcule, em cm², a área assinalada de verde.

Resolução:

Peço que leia com atenção / paciência pois a demonstração e cálculos são um bocado prolongados.

Recolher informação

1 ) Lado do triângulo ABC = 12 cm

porque  [AC] = 2 * raio = 2 * 6 = 12 cm

2 ) Área triângulo ABC = ( L² * √3 ) / 4   = ( 12² * √3) / 4  

=  (12 * 12 * √3) / 4  = (4 * 3 * 12 * √3 ) /4 = 36√3 cm²

(O quatro do denominador cancela com o 4 do numerador)

Esta é a fórmula ( L² * √3 ) / 4   que dá a área de qualquer triângulo equilátero, sem necessitar de usar a altura do mesmo.

Se a pretender demonstrar, calcule a área de um triângulo equilátero de lado L (unidades de comprimento (u . c))

Se não , consulte a "net".

3) Cada ângulo interno deste triângulo mede 60 º .  

Prova → a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 º.

Os três lados são iguais.

Num triângulo a lados iguais opõe-se ângulos iguais ( e vice versa)

Logo 180º / 3 = 60 º

4 ) Ângulo ABC é um ângulo central de medida 60 º.  

5 ) O setor circular definido por cada ângulo central de 60 º.

( 36 0 º / 60 = 6) , representa a sexta parte (1/6) da área de qualquer destas circunferências.

6 ) Sendo a área de qualquer uma das circunferências

= π * raio² = 6²π = 36 π cm²

7) A área de qualquer desses  três setores circulares é = área da circunferência a dividir por 6    

Portanto 36 π cm² / 6 = 6 π cm²

( seis setores circulares compõe toda a circunferência )

 

8 ) Os três setores circulares têm de área 3 * 6 π cm²  = 18 π cm²

Cálculo da área a verde :

9 ) A área a verde = área do triângulo ABC - área dos 3 setores circulares

A área a verde = 36√3 - 18 π cm².  

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir       ( L ) lado do triângulo ABC

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.