Question

ME AJUDEM URGENTE!!! Um número complexo z pode ser escrito sob a forma

z=
$\frac{1 + bi}{b - i}$
, onde b é um número real e i é a
unidade imaginária tal que

i =
$\sqrt{ - 1}$


Nessas condições, determine o valor de

${z}^{9819}$
​

Answer 1

Resposta:

-i

Explicação passo-a-passo:

(1 + bi) / (b - i)

Se multiplicarmos numerador e denominador por (b + i), teremos o produto notável no denominador (parte inferior da fração), onde

(x + y) (x - y) = x² - y²

portanto:

(b + i) (b - i) = b² - i²

Como i² = -1

(b + i) (b - i) = b² + 1

no numerador, teremos:

(1 + bi) (b + i) = b + i + b²i + bi²

(1 + bi) (b + i)  = b + i + b²i - b = b²i + i

se colocarmos i em evidência, teremos:

i (b² + 1)

Então,

(1 + bi) / (b - i) = i(b² + 1) / (b² + 1) = i

Lembrando agora que i:

i^0 = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = -i

Se elevarmos i a qualquer potência, só existem essas 4 possibilidades de resultados. Para saber qual delas será a nossa resposta, basta dividir a potência dada por 4 e o resto da divisão será a potência a ser considerada:

9819 / 4 = 2454 e resto = 3

então a potência 9819 tem o mesmo resultado da potência 3

i ^ 9819 = -i