Question

Considere a função

f(x)={x√−9√x+16√−25√Cx−3 se se x>9x≤9

O valor de C para o qual a função f é continua em x=9 é?

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = \begin{cases} \sf \frac{ \sqrt{x} - \sqrt{9} } { \sqrt{x + 16} - \sqrt{25} } \: \: \: se \: \: x > 9 \\ \\ \sf Cx - 3 \: \: \: se \: \: x \leqslant 9\end{cases}$

A questão quer saber qual o valor de "C" para que a função seja contínua em x = 9, primeiramente vamos lembrar as condições para que uma função seja contínua.

$\sf 1) \:f(x) \to definida \\ \sf 2) \lim_{x\to a {}^{ + } }f(x) = \lim_{x\to a {}^{ - } }f(x) \\ \sf 3)\lim_{x\to a} f(x) = f(x)$

Seguindo esse roteiro vamos encontrar o valor de C. Primeiramente vamos analisar se essa função é definida. Pelas restrições podemos ver que ela é definida quando x ≤ 9, então:

$\sf f(x) = Cx - 3 \to definida$

Agora vamos ver se os limites laterais são iguais, quando x tende a "9" pelos dois lados.

$\sf \lim_{x\to9 {}^{ + } }f(x) = \lim_{x\to9 {}^{ - } }f(x)$

O limite é uma aproximação, quando "x" tende a "9" pela direita, ou seja, por valores maiores que "9" devemos usar a expressão que indica valores maiores que "9", isto é, devemos usar a primeira equação, já quando "x" tende a "9" pela esquerda, quer dizer que "x" se aproxima de "9" por valores menores que ele, então vamos usar a segunda equação informada:

$\sf \lim_{x\to9 {}^{ + } } \frac{ \sqrt{x} - \sqrt{9} }{ \sqrt{x + 16} - \sqrt{25} } = \lim_{x\to9 {}^{ - } }Cx - 3\\ \\ \sf \sf\lim_{x\to9 {}^{ + } } \frac{ \sqrt{x} - 3}{ \sqrt{x + 16} - 5 } = \lim_{x\to9 {}^{ - } }Cx - 3$

Se fizermos a substituição do valor a qual o "x" tende resultará em uma indeterminação, então vamos sumir logo com as mesmas. No primeiro limite podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado da expressão que se encontra no denominador.

$\sf \frac{ \sqrt{x} - 3}{ \sqrt{x + 16} - 5} . \frac{ \sqrt{x + 16} + 5 }{ \sqrt{x + 16} + 5} = \frac{( \sqrt{x} - 3).( \sqrt{x + 16} + 5 )}{x + 16 - 25} \\ \\ \sf \frac{( \sqrt{x} - 3).( \sqrt{x + 16} + 5 )}{x -9}$

Só que x - 9 pode ser reescrito de uma forma que não mantenha a indeterminação:

$\sf ( \sqrt{x} - 3).( \sqrt{x} + 3) = x - 9$

Portanto vamos substituir essa nova expressão:

$\sf \frac{( \sqrt{x } - 3).( \sqrt{x + 16} + 5}{ ( \sqrt{x} - 3).( \sqrt{x } + 3)} = \frac{ \sqrt{x + 16} + 5 }{ \sqrt{x} + 3 }$

Reescrevendo essa expressão dentro do limite:

$\sf \lim_{x\to 9 {}^{ + } } \frac{\sqrt{x + 16} + 5}{ \sqrt{x} + 3 } = \lim_{x\to9 {}^{ - } }Cx - 3$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{ \sqrt{9 + 16} + 5}{ \sqrt{9} + 3 } = C.9 - 3 \\ \\ \sf \frac{ \sqrt{25} + 5}{3 + 3} = 9C - 3 \\ \\ \sf \frac{10}{6} = 9C - 3 \\ \\ \sf 10 = 6.(9C - 3) \\ \\ \sf 54C - 18 = 10 \\ \\ \sf 54C = 28 \\ \\ \sf C = \frac{14}{27}$

Espero ter ajudado