Question

Considere a equação do 2o grau dada por (k − 3)x2 + (3 - 2k)x + k = 0, com k-30. Sejam x, e x, as raízes dessa equação.


Sabendo que a soma dos inversos das raízes é igual a 7/5 , calcule:

a) (1,0) o valor de k.

b) (1,0) as raízes da equação.

Answer 1

temos a função quadrática :

$(\text k -3).\text x^2 + (3-2\text k).\text x + \text k = 0$

A) A soma dos inversos das raízes é igual a 7/5.

sendo $\text x_1 \ \text e \ \text x_2$ suas raízes, então :

$\displaystyle \frac{1}{\text x_1}+\frac{1}{\text x_2} = \frac{7}{5}$

tirando o MMC :

$\displaystyle \frac{\text x_2 + \text x_1 }{\text x_1.\text x_2}= \frac{7}{5}$

no numerador é a soma das raízes :

$\displaystyle \frac{-\text b}{\text a} \to \frac{-(3-2\text k)}{(\text k -3) }$

no denominador é o produto das raízes :

$\displaystyle \frac{\text c}{\text a} \to \frac{\text k}{(\text k -3) }$

substituindo :

$\displaystyle \frac{\text x_2 + \text x_1 }{\text x_1.\text x_2}= \frac{7}{5} \to \frac{\displaystyle \frac{(2\text k -3)}{(\text k -3)}}{\displaystyle \frac{\text k}{(\text k -3)}} = \frac{7}{5}$

$\displaystyle \frac{(2\text k -3)}{\text k} = \frac{7}{5} \to 10\text k - 15 = 7\text k$

$\displaystyle 10\text k - 7\text k = 15 \to 3\text k = 15$

$\huge\boxed{\displaystyle \text k = 5} \checkmark$

b) as raízes da equação

vamos substituir k = 5 na equação e resolver :

$(\text k -3).\text x^2 + (3-2\text k).\text x + \text k = 0$

$(\text 5 -3).\text x^2 + (3-2.5).\text x + 5 = 0$

$2.\text x^2 -7.\text x + 5 = 0$

usando bhaskara :

$\displaystyle \text x = \frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4.2.5}}{2.2} \to \text x = \frac{7\pm\sqrt{49-40}}{4}$

$\displaystyle \text x = \frac{7\pm\sqrt{9}}{4} \to \text x =\frac{7\pm3}{4}$

$\displaystyle \text x =\frac{7+3}{4} \to \text x = \frac{10}{4} \to \boxed{\text x = \frac{5}{2}}$

e

$\displaystyle \text x = \frac{7-3}{4} \to \text x = \frac{4}{4} \to \boxed{\text x = 1}$

Raízes :

$\huge\boxed{\text x = \frac{5}{2} \ \ ; \ \text x = 1} \checkmark$