Question

Determine o domínio da função f(x)= 2 + 3.tg(2x-π/3)

Answer 1

Vamos determinar o domínio real da função:

$\sf f(x)=2+3\cdot tg\bigg(\dfrac{2x-\pi}{3}\bigg)$

Primeiro vamos separar em três partes e determinar o domínio de cada uma

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$\underbrace{Veja:}$

$\boxed{\sf 2~~\to~~x\in\mathbb{R}}$

Sendo uma constante, o domínio é intervalo dos números reais

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$\boxed{\sf tg\bigg(\dfrac{2x-\pi}{3}\bigg)}$

Sendo uma função tangente, o domínio são os valores reais para x que sejam diferentes de π/2 + kπ => k pertence ao conjunto dos números inteiros. Assim:

$\sf \dfrac{2x-\pi}{3}\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi~~,~~k\in\mathbb{Z}$

$\sf \dfrac{2x-\pi}{3}\neq\dfrac{k\pi\cdot2+\pi}{2}$

$\sf \dfrac{2x-\pi}{3}\neq\dfrac{2k\pi+\pi}{2}$

Multiplique em cruz

$\sf (2x-\pi)\cdot2\neq3\cdot(2k\pi+\pi)$

$\sf 4x-2\pi\neq6k\pi+3\pi$

$\sf 4x\neq6k\pi+3\pi+2\pi$

$\sf 4x\neq6k\pi+5\pi$

$\sf x\neq\dfrac{6k\pi+5\pi}{4}$

Podemos ainda desmembrar e simplificar uma por dois, veja:

$\sf x\neq\dfrac{6k\pi}{4}+\dfrac{5\pi}{4}$

$\sf x\neq\dfrac{6k\pi^{:2}}{4^{:2}}+\dfrac{5\pi}{4}$

$\sf x\neq\dfrac{3k\pi}{2}+\dfrac{5\pi}{4}$

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$\boxed{\sf 2x-\pi~~\to~~x\in\mathbb{R}}$

Sendo o domínio de uma função linear, não há sequer restrição portanto pertence ao intervalo dos números reais

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Resposta:

Desta forma o domínio da função são os valores que pertence ao intervalo dos números reais, exceto 5π/4 + 3kπ/2

Podemos escrever desta forma:

$\boxed{\sf D=\bigg\{x\in\mathbb{R}~/~x\neq \dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{3k\pi}{2}~~,~~k\in\mathbb{Z}\bigg\}}$

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Att. Nasgovaskov

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