Question

Determine todos os valores de x para a função f dada por f(x) = 2 + 3tg (2x - 2π/3) esteja definida

Answer 1

Vamos determinar o domínio real da função:

$\sf f(x)=2+3tg\bigg(2x-\dfrac{2\pi}{3}\bigg)$

Primeiro vamos separar em três partes e determinar o domínio de cada uma

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$\underbrace{Veja:}$

$\boxed{\sf 2~~\to~~x\in\mathbb{R}}$

Sendo uma constante, o domínio é intervalo dos números reais

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$\boxed{\sf tg\bigg(2x-\dfrac{2\pi}{3}\bigg)}$

Sendo uma função tangente, o domínio são os valores reais para x que sejam diferentes de π/2 + kπ => k pertence ao conjunto dos números inteiros. Assim:

$\sf 2x-\dfrac{2\pi}{3}~\neq~\dfrac{\pi}{2}+k\pi~~,~~k\in\mathbb{Z}$

$\sf 2x~\neq~\dfrac{\pi}{2}+k\pi+\dfrac{2\pi}{3}$

$\sf 2x~\neq~\bigg(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{2\pi}{3}\bigg)+k\pi$

$\sf 2x~\neq~\bigg(\dfrac{(\pi)\cdot3}{2\cdot3}+\dfrac{(2\pi)\cdot2}{3\cdot2}\bigg)+k\pi$

$\sf 2x~\neq~\bigg(\dfrac{3\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{6}\bigg)+k\pi$

$\sf 2x~\neq~\bigg(\dfrac{3\pi+4\pi}{6}\bigg)+k\pi$

$\sf 2x~\neq~\bigg(\dfrac{7\pi}{6}\bigg)+k\pi$

$\sf x~\neq~\dfrac{\dfrac{7\pi}{6}}{2}+\dfrac{k\pi}{2}$

$\sf x~\neq~\dfrac{7\pi}{6\cdot2}+\dfrac{k\pi}{2}$

$\sf x~\neq~\dfrac{7\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}$

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$\boxed{\sf 2x-\dfrac{2\pi}{3}~~\to~~x\in\mathbb{R}}$

Sendo o domínio de uma função linear, não há sequer restrição portanto pertence ao intervalo dos números reais

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Resposta:

Desta forma o domínio da função são os valores que pertence ao intervalo dos números reais, exceto 7π/12 + kπ/2

Podemos escrever desta forma:

$\boxed{\boxed{\sf D=\bigg\{x\in\mathbb{R}~/~x~\neq~ \dfrac{7\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}~~,~~k\in\mathbb{Z}\bigg\}}}$

Está correto apenas IV

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Att. Nasgovaskov

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