Se o polinômio f(x) = 2x4- x3- mx2+ nx + 2 é divisível por q(x) = x2 - x – 2, então:
(a) m . n = 6
(b) m – n = 7
(c) m + n = 7
(d) n – m = 8
(e) n : m = 9
Respostas
Explicação passo-a-passo:
q(x) = x² - x - 2
q(x) = x² + x - 2x - 2
q(x) = x.(x + 1) - 2.(x + 1)
q(x) = (x + 1).(x - 2)
=> Para q(x) = 0:
(x + 1).(x - 2) = 0
• x + 1 = 0
x' = -1
• x - 2 = 0
x" = 2
As raízes de q(x) são -1 e 2
Como P(x) é divisível por q(x), então -1 e 2 também são raízes de P(x), logo P(-1) = 0 e P(2) = 0
=> P(-1) = 0
P(x) = 2x⁴ - x³ - mx² + nx + 2
P(-1) = 2.(-1)⁴ - (-1)³ - m.(-1)² + n.(-1) + 2
P(-1) = 2.1 - (-1) - m.1 - n + 2
P(-1) = 2 + 1 - m - n + 2
P(-1) = 5 - m - n
5 - m - n = 0
-m - n = -5 .(-1)
m + n = 5
=> P(2) = 0
P(x) = 2x⁴ - x³ - mx² + nx + 2
P(2) = 2.2⁴ - 2³ - m.2² + n.2 + 2
P(2) = 2.16 - 8 - 4m + 2n + 2
P(2) = 32 - 8 - 4m + 2n + 2
P(2) = 26 - 4m + 2n
26 - 4m + 2n = 0
-4m + 2n = -26 .(-1)
4m - 2n = 26 ÷2
2m - n = 13
Podemos montar o sistema:
• m + n = 5
• 2m - n = 13
Somando as equações:
m + 2m + n - n = 5 + 13
3m = 18
m = 18/3
m = 6
Substituindo na primeira equação:
m + n = 5
6 + n = 5
n = 5 - 6
n = -1
(a) m . n = 6
=> Falso
m . n = 6.(-1)
m . n = -6
(b) m – n = 7
=> Verdadeiro
m - n = 6 - (-1)
m - n = 6 + 1
m - n = 7
(c) m + n = 7
=> Falso
m + n = 6 + (-1)
m + n = 6 - 1
m + n = 5
(d) n – m = 8
=> Falso
n - m = -1 - 6
n - m = -7
(e) n : m = 9
=> Falso
n : m = -1 : 6
n : m = -0,1666...
Letra B