Question

Calcule a integral indefinida usando o método da substituição.

Answer 1

18. $\int{\dfrac{x^{2}-1}{x^{3}-3x+1}\,dx}$

Substituição:

$u=x^{3}-3x+1\;\;\Rightarrow\;\;du=(3x^{2}-3)\,dx\\ \\ \Rightarrow\;\;du=3\,(x^{2}-1)\,dx\;\;\Rightarrow\;\;(x^{2}-1)\,dx=\dfrac{1}{3}\,du\\ \\ \\ \int{\dfrac{x^{2}-1}{x^{3}-3x+1}\,dx}\\ \\ \\ =\int{\dfrac{1}{x^{3}-3x+1}\cdot (x^{2}-1)\,dx}\\ \\ \\ =\int{\dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{1}{3}\,du}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{3}\int{\dfrac{du}{u}}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{3}\mathrm{\,\ell n}\,|u|+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{3}\mathrm{\,\ell n}\,|x^{3}-3x+1|+C$


24. $\int{x^{2}e^{x^{3}-1}\,dx}$

Substituição:

$u=x^{3}-1\;\;\Rightarrow\;\;du=3x^{2}\,dx\;\;\Rightarrow\;\;x^{2}\,dx=\dfrac{1}{3}\,du\\ \\ \\ \int{x^{2}e^{x^{3}-1}\,dx}\\ \\ \\ =\int{e^{x^{3}-1}\cdot x^{2}\,dx}\\ \\ \\ =\int{e^{u}\cdot \dfrac{1}{3}\,du}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{3}\int{e^{u}\,du}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{3}\,e^{u}+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{3}\,e^{x^{3}-1}+C$


40. $\int{\dfrac{(\mathrm{\ell n\,}x)^{7/2}}{x}\,dx}$

Substituição:

$u=\mathrm{\ell n\,}x\;\;\Rightarrow\;\;du=\dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \int{\dfrac{(\mathrm{\ell n\,}x)^{7/2}}{x}\,dx}\\ \\ \\ =\int{(\mathrm{\ell n\,}x)^{7/2}\cdot \dfrac{dx}{x}}\\ \\ \\ =\int{u^{7/2}\,du}\\ \\ \\ =\dfrac{u^{(7/2)+1}}{(7/2)+1}+C\\ \\ \\ =\dfrac{u^{9/2}}{9/2}+C\\ \\ \\ =\dfrac{2}{9}\,u^{9/2}+C\\ \\ \\ =\dfrac{2}{9}\,(\mathrm{\ell n\,}x)^{9/2}+C$


50. $\int{x^{3}(x^{2}+1)^{3/2}\,dx}$

Substituição:

$u=x^{2}+1\;\;\Rightarrow\;\;x^{2}=u-1\;\;\Rightarrow\;\;2x\,dx=du\\ \\ x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du\\ \\ \\ \int{x^{3}(x^{2}+1)^{3/2}\,dx}\\ \\ \\ =\int{x^{2}(x^{2}+1)^{3/2}\cdot x\,dx}\\ \\ \\ =\int{(u-1)\,u^{3/2}\cdot \dfrac{1}{2}\,du}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\int{(u^{5/2}-u^{3/2})\,du}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{u^{(5/2)+1}}{(5/2)+1}-\dfrac{u^{(3/2)+1}}{(3/2)+1} \right ]+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{u^{7/2}}{7/2}-\dfrac{u^{5/2}}{5/2} \right ]+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{2}{7}\,u^{7/2}-\dfrac{2}{5}\,u^{5/2} \right ]+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{7}\,u^{7/2}-\dfrac{1}{5}\,u^{5/2}+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{7}\,(x^{2}+1)^{7/2}-\dfrac{1}{5}\,(x^{2}+1)^{5/2}+C$


55. A função que determina o número de assinantes em determinado ano, a partir de 2004, é $N(t)$ (milhões de assinantes).

Se $R(t)$ é a taxa de crescimento do número de assinantes, então

$R(t)=\dfrac{dN}{dt}\;\;\Rightarrow\;\;dN=R(t)\,dt\\ \\ \\ dN=3,36\,(t+1)^{0,05}\,dt\\ \\ \\ \int{dN}=\int{3,36\,(t+1)^{0,05}\,dt}\\ \\ \\ N(t)=3,36\cdot \dfrac{(t+1)^{0,05+1}}{0,05+1}+C\\ \\ \\ N(t)=\dfrac{3,36}{1,05}\cdot (t+1)^{1,05}+C\\ \\ \\ N(t)=3,2\cdot (t+1)^{1,05}+C$


Para determinar a constante $C,$ basta tomarmos a condição dada inicialmente:

$t=0\;\;\Rightarrow\;\;N(0)=3,2\\ \\ \\ 3,2\cdot (0+1)^{1,05}+C=3,2\\ \\ 3,2\cdot 1^{1,05}+C=3,2\\ \\ 3,2\cdot 1+C=3,2\\ \\ 3,2+C=3,2\\ \\ C=3,2-3,2\\ \\ C=0$


Então, a função número de assinantes é

$N(t)=3,2\cdot (t+1)^{1,05}$


No, ano de 2008, temos

$t=4\;\;\Rightarrow\;\;N(4)=3,2\cdot (4+1)^{1,05}\\ \\ \\ N(4)=3,2\cdot 5^{1,05}\\ \\ N(4)=3,2\cdot 5^{1,05}\\ \\ N(4)\cong 3,2\cdot 5,42\\ \\ N(4)\cong 17,34\text{ milh\~{o}es de assinantes.}$