Question

Calcular a equação da reta tangente à curva f(x) =3x/e^2x no ponto (0,0)

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = \frac{3x}{e {}^{2x} } \Longrightarrow P(0,0)$

A questão quer saber qual a equação da reta tangente a essa função (curva), para realizar tal cálculo, vamos seguir um roteiro.

• Derivada da função:

Pelo que sabemos a derivada é justamente a representação do coeficiente angular da reta tangente, então se derivarmos a função encontraremos justamente o coeficiente angular da reta tangente que buscamos. Para derivar essa função usaremos a regra do quociente, já que temos a divisão de duas funções.

$\boxed{ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{w(x)}{n(x) } \right] = \frac{ \frac{d}{dx} [w(x)].n(x) - w(x). \frac{d}{dx} [n(x)]}{(n(x)) {}^{2} } }$

Aplicando a tal regra na função:

$\sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{ 3x}{e {}^{2x} } \right] = \frac{ \frac{d}{dx} [3x].e {}^{2x} - 3x. \frac{d}{dx} [e {}^{2x} ]}{(e {}^{2x} ) {}^{2} } \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{ 3x}{e {}^{2x} } \right] = \frac{3.e {}^{2x} - 3x.e {}^{2x}.(2) }{e {}^{4x} } \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{ 3x}{e {}^{2x} } \right] = \frac{3e {}^{2x} - 6xe {}^{2x} }{e {}^{4x} }$

Essa é a derivada da função / coeficiente angular da reta tangente a curva.

• Substituição do valor da abscissa na derivada da função P(0,0) → x = 0 e y = 0.

$\sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{ 3x}{e {}^{2x} } \right] = \frac{3e {}^{2x} - 6e {}^{2x}x }{e {}^{4x} } \Longrightarrow x = 0 \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{ 3x}{e {}^{2x} } \right] = \frac{3.e{}^{2.0} - 6e {}^{2.0}.0 }{e {}^{4.0} } \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{ 3x}{e {}^{2x} } \right] = \frac{3e {}^{0} - 0.e {}^{0} }{e {}^{0} } \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{ 3x}{e {}^{2x} } \right] = \frac{3}{1} \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{ 3x}{e {}^{2x} } \right] = 3$

• Montagem da equação da reta tangente através do coeficiente angular e o ponto P(0,0), com a ajuda da equação fundamental da reta:

$\sf P(0,0)\Longrightarrow m = 3 \\ \sf y - y_0 = m.( x - x_0) \\ \sf y - 0 = 3.(x - 0) \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{\sf y = 3x}}}}$

Espero ter ajudado